Question

Hi（受験生）

【1】や【2】の最後の
ーーーは整数であるから、n^2は３の倍数ではない。（①）
は2枚目の写真のように、
よって、3の倍数ではない
でもいいですか？

また①は3でくくったものは整数より、3(----)は3の倍数で、それと別に1が残っているから３の倍数ではない。
ということを表しているのですか？

98
00000
対偶を利用した証明 (1)
基本例題 56
整数 n の平方が3の倍数ならば,nは3の倍数であることを証明せよ。
指針n² が3の倍数→nが3の倍数 を直接証明するのは, ｢n² が3の倍数」 が扱いにくいの
で面倒である。 そこで, 対偶を利用した (間接) 証明を考える。
対偶を考えるとき,「nが3の倍数でない」ということを、どのような式で表すかがポイン
トとなるが,これは次のように表す (検討 参照 )。
n=3k+1[3で割った余りが1], n=3k+2[3で割った余りが2]
なお,命題を証明するのに,仮定から出発して順に正しい推論を進め、結論を導く証明は
を直接証明法という。これに対して, 背理法や対偶を利用する証明のように, 仮定から
間接的に結論を導く証明法を間接証明法 という。
解答
与えられた命題の対偶は
「nが3の倍数でないならば,n²は3の倍数でない」
である。
nが3の倍数でないとき, kを整数として,
n=3k+1またはn=3k+2
と表される。
[1] n=3k+1のとき
n²=(3k+1)^=9k²+6k+1
=3(3k²+2k)+1
3k²+2k は整数であるから,n²は3の倍数ではない。
[2] n=3k+2のとき
n²=(3k+2)^=9k²+12k+4
=3(3k²+4k+1)+1
3k²+4k+1は整数であるから, n²は3の倍数ではない。
[1], [2] により, 対偶が真である。
したがって, 与えられた命題も真である。
基本 55
0, 1)
2で割った余りが
① 直接がだめなら間接で
対偶の利用
(p.99 の検討も参照。)
検討 整数の表し方
整数nは次のように場合分けして表すことができる (kは整数)。
① 2k, 2k+1
(個数、奇数
② 3k, 3k+1, 3k+2
(3で割った余りが 0 1,2)
③ ph, pk+1, pk+2, ., pk+(p−1) (pで割った余りが 0, 1,2, ......
詳しくは数学A で学習する。
3× (整数)+1の形の数は,
3で割った余りが1の数で､
3の倍数ではない。
[¯¯¯

13436
整数の平方が3の倍数ならば、nは3の倍数であることを証明せよ。
=2
与えられた命題の対遇は
n ₁² 3 α TÉ (₁ 27" n²12 3. & TELL LI
nが3の倍数でないとま、kを整数として。
n = 3k + | $7=12n = 3K-2
と表す
[1] n=³k+lac£.
n² = (³k + 1)²
= 9k²³² +0k + /
=3(3+)+1
よっく3の倍数ではない
1 [2] n = ³k + 2ac².
2
1 n² = (³k + ²)²
96²² +12k + 4
= 3 (3 k²³² + √²+1) = |
F₁ 2 2 α1 X 2" 1 F T I U
| [₁] [2] =177.2.
与えられた命題も真である。

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

和

甘い採点なら○の可能性もありますが、
減点の恐れは相当あります
基本的に書きましょう

3( )+1は、( )が整数であるからこそ、
3で割って1余る数といえます
もしも( )が整数でないと、そうならないことがあります
たとえば3×(2/3)+1は3です
3の倍数になってしまいますね

後半はその通りです

Hi（受験生）

詳しい解説ありがとうございます！！