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x¹⁰=1的解位於複數平面的單位圓上(r=1)
正十角星的邊長a 為 1與(cos108°+ i sin108°)的距離
a=((1-cos108°)²+sin²108°)^½=(2-2cos108°)^½
=2* ((1-cos108°)/2)^½=2sin54° (半角公式)
正十邊形的邊長b 為 1與(cos36°+ i sin36°)的距離
b=((1-cos36°)²+sin²36°)^½=(2-2cos36°)^½
=2* ((1-cos36°)/2)^½=2sin18° (半角公式)
a-b=2(sin54°-sin18°)=2(sin(36°+18°)-sin(36°-18°))
=4cos36°sin18°=2(2sin18°cos18°)cos36°/cos18°
=(2sin36°cos36°)/cos18°=sin72°/cos18°
=sin72°/sin72°=1=r
設圓心為O，圓的半徑為r，正十邊形的邊長為a，正十角星的邊長為b。
首先觀察正十邊形，它可以被劃分成十個等腰三角形，每個等腰三角形的頂角為36度，底角為(180-36)/2=72度。因為底角是圓心角，所以每個等腰三角形的底邊為圓的半徑r。因此，正十邊形的邊長a等於2r*sin(72度)。
接下來觀察正十角星，它可以被劃分成十個等腰三角形和五個菱形。每個等腰三角形的頂角為36度，底角為(180-36)/2=72度，底邊為b。每個菱形的角度為72度和108度，對角線長度為2b。因此，正十角星的邊長b等於2r*sin(36度)。
現在我們需要證明的是a-b=r。
利用三角函數的差角公式sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)，將a=72度，b=36度代入得到：
sin(72度-36度) = sin(72度)cos(36度) - cos(72度)sin(36度)
化簡得到：
sin(36度) = (sin(72度)/2) - (sqrt(3)/2)*cos(72度)
接著，利用三角函數的倍角公式cos(2a)=2cos^2(a)-1，cos(2a)=1-2sin^2(a)，sin^2(a)=1/2*(1-cos(2a))，將a=36度代入得到：
sin^2(36度)=1/2*(1-cos(72度))
因此，sin(36度)的平方可以表示為cos(72度)的一個式子。代入前面的公式中得到：
cos(72度) = (sin(72度)/2) - (sqrt(3)/2)*sin(36度)
將這個式子代入正十邊形的邊長公式中得到：
a = 2rsin(72度) = 2rcos(36度) + sqrt(3)rsin(36度)
將這個式子代入正十角星的邊長公式中得到：
b = 2r*sin(36度) = sin(72度)*r - sqrt(3)*cos(72度)*r
將前面推導出的cos(72度)代入這個式子中得到：
b = sin(72度)*r - (sin(72度)/2)*r + (sqrt
用ai跑的
要證明不是不行 但你會的工具要夠多
人類要被Ai取代了，怕.jpg
我放棄…