基本例題243 面積の等分
放物線y=-x(x-2) とx軸で囲まれた図形の面積が,直線y=ax によって2等
分されるとき,定数 αの値を求めよ。 ただし, 0<a<2 とする。
指針 右の図のように,各図形の面積を S1, S2 とすると, 問題の条件
はS=S2 であるが, S2 を求めるのが少し面倒。
この問題では,放物線とx軸で囲まれた図形の面積をSとして
条件 St=S2 を,2S=S (全体の面積S1+S2) と考えた方が計算
がらくである。
CHART 面積の等分 Si = S2 か S=2S1 を利用
解答
放物線y=-x(x-2) と直線y=ax の交点のx座標は, 方程式
-x(x-2)=ax の解である。
ゆえに
x{x-(2-α)}=0
よって
x=0, 2-a
放物線と直線y=ax, 放物線とx軸で囲まれた図形の面積を,
それぞれS, Sとすると
S=S=(-x(x-2)-ax}dx=-S。"x{x-(2-a)}dx
20
=-(-21212) ( 12-2)-01-21/12 (2-a)*
−(− ¹){(2-a)—0}³ =
=
(2—a)³
6
S=S{-x(x-2)}dx=-fix(x-2)dx
4
=-(- - -)(2-0)³ = -3/1
求める条件は 2S=S
4
ゆえに 1/23(2-a)2=1/137 すなわち (2-a)²=4
よって
2-a=3/4
すなわち α =2-34
y4
7°
基本 235236
0
S₁
S₁
S₂
S₂
y=ax
2
-x(x-2)
y=ax
12
2-a
y=-x(x-2)\
x
f(x-a)(x-B)dx
=-—-—-(8-α)³²
X
371
12-α=xとおくと、x=
を満たす実数xは
x=√4 のみ。
3/1 it
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