Question

いわ

この問題の(2)で、解説にはn=1のとき左辺=2と書いてあるのですが、いまいち納得いきません。
n=1のときは左辺に1を代入するので、(1+1)(1+2)(1+3)･･･2×1とはならないのですか？

245 nは自然数とする。 数学的帰納法によって,次の等式を証明せよ。
3
n-1
3
1+2 3+3 (2)*++ (2) = 2(n-2)(3) +-
+4
2
(2) (n+1)(n+2)(n+3) (2n)=2.1.3.5 (2n-1)
*
...

(2) (n+1)(n+2)(n+3).....
=2”･1・3･5
[1] n=1のとき
(2n)
(2n-1)...... ① とする。
0722
左辺=1+1=2,
[+1=761
右辺=21.1=2
よって,n=1のとき, ①は成り立つ。
[2] n=kのとき ① が成り立つ, すなわち
(k+1)(k+2)(k +3)........ (2k)
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==2・1・3･5........(2k-1)= (2)
と仮定する。 (A) $301=wJc1
n=k+1のとき, ① の左辺について考えると,
② から
0811-d
(k+2)(k+3)........ (2k) · (2k +1)(2k+2)
= (k+2)(k+3)････････
(2k). (2k+1) 2(k+1)
=2(k+1)(k+2) (k +3)........
(2k)(2k+1)
=2k+1.1.3.5･･･････(2k-1)(2k+1)
よって, n=k+1のときにも ①は成り立つ。
[1], [2] から,すべての自然数nについて ① は
成り立つ。

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

ぽっきー

そのような誤解がよく起こるので説明すると
(左辺)＝(n +1)(n +2)・・・(n +n)
　　　＝Π(k＝1→n) (n +k)
ここでΠはΣでいう足し算の記号のようなものです。
(今回は掛け算)
ですからkを1からnまで動かして積を取るので
n＝1とするとkを1から1まで動かして積を取る,つまり,
(左辺)＝1＋1＝2

(参考までにn＝5のとき)
kを1から5まで動かして積を取るので
(左辺)＝(5＋1)(5＋2)(5＋3)(5＋4)(5＋5)
という感じです。(計算略)

ぽっきー

補足
(1＋1)(1＋2)(1＋3)という規則的に並んでいるのに
最後に2x1で？となりませんでしたか？
ここでポイントなのが2nをn＋nとみてあげることによって
左辺はnという自然数にk(1≦k≦n)を加えて,掛けているということに見抜くことなのです。

いわ

なるほど！
確かにn+nという見方ができていませんでした、、
理解出来ました！丁寧にありがとうございます！