Question

は

∫1/xlogx dx 解ける人いませんか

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

John Smith

被積分関数が(1/x)logxなのか、1/(xlogx)なのかわからなかったので、両方書いておきます。

∫1/(xlogx) dx=∫(logx)’•1/logx dx=log|logx|+Const.
もしくはlogx=tと置くことで、dt/dx=1/xより
∫1/(xlogx) dx=∫1/t dt=log|t|+Const.=log|logx|+Const.

∫(1/x)logx dx=(logx)²-∫(1/x)logx dx
∴∫(1/x)logx dx=(logx)²/2+Const.

細かいところの注意は、logxが被積分関数に含まれてる時点で、x>0なので、1/xを積分するとlog|x|ではなくてlogxとして平気です。しかし勿論logx<0となりうるので、log|logx|の絶対値は外してはいけません。

もし質問や、間違えている所がありましたらコメントよろしくお願いします！🙇‍♂️

wrmannjirou

初投稿なのでこういうコメントして良いのか分からないんですけど、∫1/(xlogx)dxの積分に関して、
1/(xlogx)=(1/x)/logxより、
∫1/(xlogx)dx
=∫(1/x)/logxdx
=log|logx|+Const. (∵∫f'(x)/f(x)dx=log|f(x)|+Const.)
とした方が早いし分かりやすいかなとか思いました

John Smith

そう言うコメントは大変助かります!
一応それが分かりやすいように
(logx)’(1/logx)と書いたつもりなんですが、
確かにwrmannjirouさんの書き方の方が
分かりやすいかもですね！！