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T
ある変
基本例題 92
0≦x≦2の範囲において、 常に x²-2ax+3a> 0 が成り立つように、
の値の範囲を定めよ。
CHART & THINKING
x 2の係数は正。 「常に x-2ax+3>0 が成り立つ」
ことから, 図1のように単にD<0 とするのは間
違い! 0x2の範囲」 となっているから,
D>0 で図2のような場合も起こりうる。
「ある変域でf(x) > 0
(変域内の最小値)>0｣
図1
と考えてみよう。 文字を含む2次関数の最小値は
どのように求めればよかっただろうか。 → p. 114 基本例題 64 参照。
解答
f(x)=x2-2ax+3a とする。
求める条件は、0≦x≦2の範囲における関数 y=f(x) の最
小値が正であることである。
f(x)=(x-a)^-a²+3a であるから, y=f(x) のグラフは
下に凸の放物線で, その軸は直線 x =α である。
[1] α<0 のとき
f(x) は x=0 で最小となる。
よって
f(0)=3a>0
Dne
[2] 0≦a≦2のとき
f(x) は x=α で最小となる。
よって f(a)=-a²+3a> 0 すなわち
これを解くと, a (a-3) < 0 から 0<a<3
これと 0≦a≦2の共通範囲は
[3] 2 <a のとき
0<a≦2
f(x)はx=2で最小となる。
f(2)=4-a>0
よって
これと 2 <α の共通範囲は
2<a<4
求めるαの値の範囲は①と②
を合わせて
0<a<4
これは α<0 を満たさない。
******
ゆえに
(0fp) 025+zd
a²-3a<0
ISATION
①0万不
MEMO
(2)
01 20
x 02
定数 (
図2
[1] 軸が変域の左外
02%
[2] 軸が変域の内部
0a2
[3] 軸が変域の右外
Li
V
02
基
Z
C
