解答

因為是第二象限角,θ的終邊上的點(x, y)是(–,+)
我們定義廣義角三角函數為:
sin θ = y / r
cos θ = x / r
tan θ = y / x,其中 r = √(x²+y²) > 0

根據條件,cosθ = –7/25 = x/r
所以取 r = 25, x = –7,
則 y = ±√r²–x²=±24(取+)
(註:剛好是7:24:25的直角三角形。)

(A) X : sin θ = y / r = 24/25
(B) O : tan θ = y / x = 24/–7 = –(7/24)
(C) X : sin(π+θ) = –sinθ = –(24/25)=–24/25
(D) X : cos(3π/2+θ) = cos(π + (π/2+θ))
= –cos(π/2+θ)
= –(–sinθ) = sinθ = 24/25。
(E) O : tan(π–θ)=–tanθ=–(–7/24) = 24/7。

註:(C)(D)(E) 都是代廣義角公式:


sin(π–θ) = sinθ
cos(π–θ)=–cosθ
tan(π–θ) =–tanθ


sin(π+θ) =–sinθ
cos(π+θ)=–cosθ
tan(π+θ) = tanθ


sin(–θ) = –sinθ
cos(–θ)= cosθ
tan(–θ) =–tanθ


sin(π/2–θ) = cosθ
cos(π/2–θ)= sinθ
sin(π/2+θ) = cosθ
cos(π/2+θ)=–sinθ

↑有了180°和90°的廣義角公式,
270°(3π/2)就用以上這些推即可,
就不用再多記270°的部分。

三角函數的正負值關係:
我們假設 (x, y) = (cosθ, sinθ),則有

第二象限 第一象限
(–,+) (+,+)
O
(–,–) (+,–)
第三象限 第四象限

這樣就知道任何象限角的cos與sin的正負值。另外tan = sin/cos,正負值也可以知道。
(tan 在第一、三象限為+)

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