✨ 最佳解答 ✨
設 a = √(1+2sinθcosθ) , b = √(1-2sinθcosθ)
那麼
a² + b² = 2
ab = √(1-4sin²θcos²θ)
= √[1-4sin²(1-sin²θ)]
= √[1-(4sin²θ-4sin⁴θ)]
= √[4sin⁴θ-4sin²θ+1]
= √[(2sin²-1)²]
= |2sin²θ-1|
∵180° < θ < 270° 且 sinθ < cosθ
⇒ 225° < θ < 270°
⇒ -√2/2 < sinθ < -1
⇒ 1 < 2sin²θ < 2
⇒ 0 < 2sin²θ - 1 < 1
∴ ab = 2sin²θ - 1
(a+b)² = a² + b² + 2ab
= 2 + 2(2sin²θ - 1)
= 4sin²θ
a+b = ± 2sinθ
∵ a+b > 0
sinθ < 0
∴ a+b = -2sinθ
a² = 1+2sinθcosθ
b² = 1-2sinθcosθ
⇒ a² + b² = 2
有點複雜 看不太懂
由第一行做出的假設可知
a = √(1+2sinθcosθ)
b = √(1-2sinθcosθ)
可以觀察到，兩個等式的右側都是單一的根式
又因為二次根號代表著1/2次方
兩式可以寫成
a = (1+2sinθcosθ)¹ᐟ²
b = (1-2sinθcosθ)¹ᐟ²
如果想要將1/2次方消除
可以對等式兩邊平方
兩式變成
a² = [ (1+2sinθcosθ)¹ᐟ² ]²
b² = [ (1-2sinθcosθ)¹ᐟ² ]²
利用指數律 (cᵐ)ⁿ = cᵐˣⁿ
兩式可化簡為
a² = (1+2sinθcosθ)¹ᐟ² ˣ ²
= (1+2sinθcosθ)¹
= 1+2sinθcosθ
b² = (1-2sinθcosθ)¹ᐟ² ˣ ²
= (1-2sinθcosθ)¹
= 1-2sinθcosθ
可以觀察到，上式的右側有 2sinθcosθ
而下式的右側則有 -2sinθcosθ
若將兩式相加，三角函數項即可相消
兩式相加可得
a² + b² = (1+2sinθcosθ) + (1-2sinθcosθ)
= 1 + 2sinθcosθ + 1 - 2sinθcosθ
= 1 + 1 + 2sinθcosθ - 2sinθcosθ
= 2 + 0
= 2
為什麼要a*b
如果要計算 a+b，而已知 a²+b²
利用乘法公式 (a+b)² = a²+b²+2ab
只要得知 ab 的值
就可以求出 (a+b)²
進而求出 a+b
為什麼a² + b² =等於2？