Question

Aline

問多選

1、在坐標平面上,當一個點(x,y)的 x 坐標與y坐標都是整數時,稱其為格子點。設m、n皆為
[x≥0
ly20
|x+y≥2
nx + y ≤m
正整數且 m> 2,2<n<7,若聯立不等式
選項中的敘述是正確的?
(A)3m² =1007
(B)m = 10
(C)n = 6
(D)Q 邊界上的格子點有 15 個
(EQ 內部(不含邊界)的格子點有8個
44
的解區域2之面積為-
,
則下列哪些

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

可知

大致上畫個圖可以知道
x+y=2
{
nx+y=m
解聯立，兩式相減得
(1–n)x=2–m
x=(2–m)/(1–n)。

這兩線交點，起碼要在第一象限、正方向x軸、或第四象限（參考第一張圖，像藍線或紫線那樣）
否則Ω為空集合。

又2<n<7，表示n=3,4,5,6
假設n=3時，
x=(2–m)/(–2) = (m–2)/2，確實m>2是必要的。

如果情況為，x在藍線上，那麼(m–2)/2≤2
m≤6，（假設藍線與紅線交於x軸，就是 = 的情況）
且Ω就是三角形區域
底 = m–2
高 = x = (m–2)/2
面積為 (1/2)(m–2)(m–2)/2=44/3
m=2±4√33/3 不是正整數。

那麼，藍線是不可能的，
所以是紫線的情況：
而Ω區域是一個四邊形，如第二張圖所示，
可以切成上面的三角形+下面的三角形。
於是，面積為：
(1/2)(m–2)(m/3)+(m/3–2)=44/3
算出m=±10（負不合）
故n=3時，m=10

再來就不詳細講了，開始計算n=4的時候：
藍線情況時：
(m–2)²/6 = 44/3 →m不是正整數。
紫線情況時：
(1/2)(m–2)(m/4)+(m/4–2)=44/3 →m也不是正整數

計算n=5：
藍線情況時：
(m–2)²/8=44/3 →m不是正整數
紫線情況時：
(1/2)(m–2)(m/5)+(m/5–2)=44/3 →m也不是正整數

計算n=6：
藍線情況時：
(m–2)²/10=44/3 →m不是正整數
紫線情況時：
(1/2)(m–2)(m/6)+(m/6–2)=44/3 →m也不是正整數。

所以，確定只有唯一的情況，就是
3x+y≤10
可行解區域如第三張圖所示。

所以(A)(B) 正確，(C) 錯誤
(D) 正確，邊界有15個格子點
(E) 正確，不含邊界，內部有8個格子點。
（找格子點除了用數的，也可以利用整數鉛直線找法。）

Aline

了解謝謝