Mathematics
高中
已解決
(2)の問題です
この証明にどこか間違えているところはありませんか?
(字が読みにくいですが…)
Q
Focus
練習
[104]
**
命題と対偶
直接証明するのが難しい場合は、利用して証明する。
(1) もとの命題の対間は、
「整数nについて、
nが3の倍数でないならば、
2は3の倍数でないので、を整数として,
n3k+1 または、n=3k+2
例題104
ついて、次の問いに答えよ、
命題「整数々について、が3の倍数ならば、nも3の倍数である」 に
(2) 対偶を証明することにより、 命題を証明せよ。
(1) この命題の対偶を述べよ。
n=3k+1 のとき、
n²-(3k+1)ª
=9k² +6k+1
=3(3k+2k)+1
n=3k+2のとき、
n² (3k+2)²
=9k²+12k+4
も3の倍数でない」
3
=3(3k²+4k+1)+1
ここで、3k2+2k, 3k+4k+1は整数であるから,
nは3の倍数ではない.
よって, 対偶が証明されたので、 もとの命題も成り
立つ
命題と証明
*****
n² →nth bn-n²
の方が扱いやすい。
「3の倍数」 は 3k(k
は整数)と表せ、 「3の
倍数でない整数」 は、
3k+1.3k+2 と表せ
る.
第3章
3k² +2ks,
「3k²+4k+1」が整数
であることを必ず書く。
対偶証明法もとの命題のかわりに対偶を証明する
「3の倍数でない整数」 は, 3k-1, 3k+1 (kは整数)と表せる。
このとき, n²=(3k±1)²=9k² ±6k+1=3(3k±2k) +1 (複号同順) となり、3k2k
は整数であるからn²は3の倍数ではないとして示すこともできる.
注》〉対偶証明法は,数学的に明らかな命題や、扱いにくい条件を含む命題などの証明に有効
である.
整数 α, bに関する次の命題の対偶を述べ、対偶を証明することにより、次の
題を証明せよ.
(1) α² が2の倍数ならば, aも2の倍数である
(2) d'+62 が3で割り切れるならば,α, bはともに3で割り切れる
(3) 積αbが4の倍数ならば, αまたは6は2の倍数である
120
p. 208 11 12
THE E
(2)対象「a,bの少ない力が3で割り切れないならば、athも3で割り切れ
ロ]
ある整数を用いてを表すと、a=3k+1.3k+2.
b=3L
aが3で割り切れなくご
bが3で割り切れる場合(片方が3で割り切れない場合)
2
(3k+1) ²+(3L)^²=9k+6k+9L+1
a²7b²
ath²=(3k+2)^²+(3L)=9k^2+12k+q+4=3(3+4+2+1)+1
③+2K+3/23k+4k+3+1は整数だから
①、②は3の倍数ではない。
[] aとb どちらも3で割り切れない場合
aとbをある整数k.Lを用いて表すと.
3k+1 3k+2
b=3L+1.3L+2
@a² tb² = (3k+1) ³² + BL+1)² = 9K²+6k+9L² +6L+2 = 3(³K²+²k+ 12² 72²) 12²²
a²7b² = (³k fl)² + (5L + 2)² = 9/²16k+9L² f/2L + 5 = 3( 3k ²7²k +32 ² +4L+1 ) + 2
@ath² = (k+R) ²7 (3L + 1)² = 9k² +/²k+9L²7 6 [+5 = 3(3K²74k t3L²³+₂L+1) + 2
④
4a²7b² = (³k +²7 +(3L+2)² = 9k² +1²k+92² +1²L + 8 = 3( ³K²+4k 732² +4L+²) +2
3K²+²/+3L²+2L 3K²+2k+ 3L²+4L+ | 3K²+4/+3[² +2 L +/- 3K²+4/+3L²74L+2
は整数だから、
6
= 3(³K²+ ²k+3L²)+L
①~④は3の倍数ではない。
[□]・[[]]より、対偶は真である
よって、命題は素である。
.
数ではない」
解答
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