Question

なごみ

写真にあるような、立体の塗り分けの問題についてで、自分なりに手書きの紙のように定石化してみたのですが、これでよいか見ていただきたいです！

173.
nを自然数とする。n色の異なる色を用意し,そのうちの何色かを使って正多面体の面
を塗り分ける方法を考える。 つまり、1つの面には1色を塗り, 辺をはさんで隣り合う
面どうしは異なる色となるように塗る。 ただし, 正多面体を回転させて一致する塗り分
け方どうしは区別しない。
(1)正四面体の面を用意した色で塗り分ける。
少なくとも何色必要か。
n≧4 とする。この方法は何通りあるか。
(2)正六面体 (立方体) の面を用意した色で塗り分ける。
少なくとも何色必要
6 とする。この方法は何通りあるか。
[21 滋賀医大]

73
〈正多面体のり
(2) (イ) 底面の1色を固定して考える。 5色で塗り分けるとき、底面と上面に同じ色を塗る
とすると, 側面は4色のじゅず順列になる。 6色で塗り分けるとき、 上面の塗り方は5
りになり、側面は4色の円順列になる。
(1)正四面体の1つの面は、他のすべての面と辺をはさんで隣り
合う面どうしであるから,他の面と同じ色を塗ることができない。
したがって, 正四面体に色を塗るためには, 少なくとも4色必要
である。
(イ)(ア)から,正四面体を塗り分ける色の数は4色のみである。
C 通り
4色の選び方は
底面に1色を固定すると側面は3色を塗り分ける円順列になる。
よって, 色の塗り方は
nCs·(3-1)!=n(n-1)(n-2)(n-3)
12
(通り)
(2) (ア) 正六面体の1つの面には,辺をはさんで隣り合わない面がた
だ1つ存在する。
よって、正六面体には,ある面と,その面と辺をはさんで隣り合
わない面との組合せが3組できる。
あると,その面と辺をはさんで隣り合わない面には同じ色を塗
ることができるから、正六面体を塗り分けるには少なくとも3色
必要である。
(イ)(ア) から, 正六面体には3色 4色, 5色, 6色で塗り分ける場合
がある。
[1] 3色で塗り分けるとき
3色の選び方は
C3 通り
底面に1色を固定すると, それと向かい合う面も同じ色となり、
側面は2色の色分けとなるが, どのように塗り分けても面
を軸に側面を回転すると塗り分け方は一致するから,色の塗り
方は1通りに定まる。
よって、色の塗り方は
nC3=
n(n−1)(n-2) (通り)
6
[2] 4色で塗り分けるとき
4色の選び方は
C通り
まず、色の選び方を決める。
底面と上面の2色を決める
と、底面を軸とした回転で
一致する塗り方は同一視さ
れる。
よって、 色の塗り方は
Cax6=-
n(n-1)(n-2)(n-3)
4
[3]5色で塗り分けるとき
5色の選び方は nCs通り
(通り)
1つの色を正六面体の3つ以上の面に塗ることはないから、5
色のうち2つの面に塗る色は1色ある。
ゆえに、2つの面に塗る1色の選び方は
それと向かい合う面も同じ色に塗られる。
5通り
ここで2つの面に塗る1色に塗られた面を底面に固定すると,
このとき、側面は4色を塗り分けるじゅず順列になる。
(1)n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)
- (通り)
よって、色の塗り方は
Csx5x-
[4] 6色で塗り分けるとき
6色の選び方は C 通り
底面を1つの色で固定すると向かいの面は5通り、
側面は4色の円順列になる。
よって, 色の塗り方は
C6×5×(4-1)!
n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)
24
[1]~[4] から, 求める色の塗り方は
6
(通り)
n(n-1)(n-2) n(n-1)(n-2)(n-3)
4
+
n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)
8
+
n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)
24
n(n-1)(n-2),
-{4+6(n-3)+3(n-3)(n-4)
24
+(n-3)(n-4)(n-5))
(通り)
24
n(n-1) (n-2) (n-9n²+32n-38)
底面と上面が同じ色のとき
面を上面にひっくり返す
回転で一致する塗り方は
一視される。
バッた。
1つの色を正六面体の3つ以上の面に塗ることはないから 4
色のうち2つの面に塗る色は2色ある。
ゆえに、2つの面に塗る2色の選び方は
C2=6(通り)
ここで、2つの面に塗る1色に塗られた面を底面に固定すると
それと向かい合う面も同じ色となり、側面のうち2つの面に塗
る色が1色あるから、残りの2色は側面の互いに向かい合う面
に塗られる。
+
ゆえに、残りの2色はどのように塗り分けても、底面を軸に側
面を回転すると塗り分け方は一致するから、残りの2色の塗ら
れ方は1通りに定まる。
74 〈最短経路の数>
(1)面 ABCD 上を点Aから点Cへ行き, 辺CGを点Cから点Gへ行く道筋である。
(2)2つの面 ABCD, BFGC上を行く道筋である。
(3)(辺BCを通る道筋) + (辺 CD を通る道筋)-(点Cを通る道筋)を計算すればよい。
(4) 点Aから点Gへ最短で行くときに、横切らなければならない辺の数と,そのとき重視し
ている頂点の数を考える。
(1)点Cを通る最短の道筋は、 面 ABCD 上を点Aから点Cへ行き,
辺 CGを点Cから点Gへ行く道筋であるから
8!
〒×1=70 (通り)
4!4!
点Aから点Cまでの道筋は、
→4個と14個の順列と考
える。
数学重要問題集(理系)
65

立体
分け
対称面がある
対面に対称面に
対称面がない
円順列
同じ色
違う色
じゅず順列
円順列

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

和

原則、ということで、他の要素については、
その都度考えるということですよね
特に問題はないように思います

たとえば対称面があっても、
立方体と、（立方体でない）正四角柱や正三角柱などとは、
少し注意点が異なったり、
異なる3種類の長方形2枚×3組からなる直方体は、
また勝手が異なったり、
側面n面を異なるn色で塗るのではなく
色数が少ないケースとか、
ある程度踏まえているのだと思います

まずざっくりと方針を分類したものであって、
個々の問題にはもちろん柔軟に対応する、
ということだと思うので、よいと思います

なごみ

わかりました！丁寧に回答していただきありがとうございました！