Question

たたた

この写真の問題の(2)についてなのですが、(1)の「2解が共に1より大きい」という時は写真のように、
[f(1)の符号(精構①)]、[軸aの取りうる範囲(精構②)]
[頂点のy座標(精構③)]の3つの不等式の共通範囲からaの答えを求めていることは、わかるのですが、なぜ、(2)のときは、軸aの取りうる範囲(精構②)と頂点のy座標(精構②)なしでaの範囲が求まるのですか？

40
2次方程式 2-2ax+4=0 が次の条件をみたすようなaの範
囲をそれぞれ定めよ .
(1) 2解がともに1より大きい。
(2) 1つの解が1より大きく, 他の解が1より小さい.
(3) 2解がともに0と3の間にある.
(4)
2解が0と2の間と2と4の間に1つずつある。
解の条件を使って係数の関係式を求めるときは, グラフを利用しま
す。その際、グラフの次の部分に着目して解答をつくってい
① あるxの値に対するyの値の符号
② 軸の動きうる範囲
③頂点のy座標 (または, 判別式) の符号
このように,方程式の解を特定の範囲に押し込むことを「解の配置」といい、
グラフを方程式へ応用していく代表的なもので,今後,数学ⅡBへと学習が
すすんでいっても使う考え方です。 確実にマスターしてください.
解答
f(x)=x²-2ax+4 とおくと, f(x)=(x-α)2+4-a²
よって, 軸はx=a, 頂点は(a, 4-α²)
(1) f(x)=0 の2解が1より大きいとき
精講
y=f(x)のグラフは右図のようになっている.
よって,次の連立不等式が成立する.
(1)=5-2a>0
【精講①
精講 ②
■精講③ 次ページ右上の
a>1
4-a² ≤0
a</かつ<aかつ
「a≦-2 または 2≦a」
右図の数直線より、2≦a<
2
-2
1
a
1
y=f(x)
x
---4-a²
1 25
18

注 「異なる2解」 とかいていないときは重解の場合も含めて考えます。 |
(2) f(x)=0の1つの解が1より大きく,他の解
が1より小さいとき, y=f(x)のグラフは右図.
よって,f(1)=5-2a<04>
注 この場合, 精講②, ③は不要です.
(3) f(x)=0の2解がともに0と3の間にあると
き, y=f(x)のグラフは右図.
よって,次の連立不等式が成立する.
f(0)=4>0
f(3)=13-6a>0
0<a<3
4-a²≤0
よって, a<-
13
下図の数直線より、2≦a <-
6
-2
精講①
ポイント
C
精講①
精講②
精講③
1 かつ 0<a<3かつ「a≦-2 または 2≦a」
13
6
2 133 a
(4) f(0) > 0, f(2)<0, f (4) > 0 が成りたつので
f(0)=4>0~
5
f(2)=8-4a<0 よって、2<a<2
lf (4)=20-8a> 0
解の配置の問題はグラフで考える
0
54
79
y=f(x)
y=f(x)
3 x
--4-a²
y=f(x),
4x
第2章

二次関数

Answer 1

マック堺

⑵の問題はは軸が1より大きい時でも1より小さい時でも「一つの解が1より大きく他の解が1より小さい」
となる場合があるので軸の位置は関係ない。
精講③がなくてもいい理由は、この二次方程式は下に凸のグラフになるのでf(1)<0となれば確実に異なる2つの解を持つからです。

たたた

仮に精構②.③を考えても結局、答えは同じですか？

マック堺

同じになりますが精講②は軸の範囲なのでこの問題の場合は②はどうしても使えないと思います。