基本 例題50
2次方程式 x°-2px+p+2=0 が次の条件を満たす解をもつように, 定数かの値
の範囲を定めよ。
1) 2つの解がともに1より大きい。
-2) 1つの解は3より大きく,他の解は3より小さい。
2次方程式の解の存在範囲
OOOO0
p.81 基本事項(2
計>2次方程式x"-2px+p+2=0の2つの解を α, Bとする。
(1) 2つの解がともに1より大きい。→α-1>0 かつ β-1>0
(2) 1つの解は3より大きく,他の解は3より小さい。→a-3とβ-3が異符号
以上のように考えると,例題 49 と同じようにして解くことができる。なお, グラフを利用
する解法(p.81 の解説)もある。これについては,解答副文の剛開参照。
2
解答
欠方程式x-2px+カ+2=0 の2つの解を α, Bとし,判別式 | 2次関数
Dとする。
f(x)=x°-2px+p+2の
グラフを利用する。
=(-)-(p+2)=Dがーカー2%3(カ+1) (カー2)
と係数の関係から
a>1, B>1であるための条件は
D20 かつ(α-1)+(8-1)>0 かつ (α-1)(8-1)>0
D20から
よって
(a-1)+(B-1)>0 すなわち α+B-2>0 から 2カ-2>0
よって
(a-1)(B-1)>0 すなわち αB-(c+B)+1>0 から
α+B=2p, aB=+2
軸について x=p>1,
f(1)=3-p>0
から 2Sp<3
(カ+1)(カ-2)20
かミ-1, 2<p………①
xーp y=f(x)
3-e\aP
p>1
0
B
p+2-2p+1>0
よって
求めるかの値の範囲は, ①, ②,
③ の共通範囲をとって
かく3……… 3
0 -
(2) f(3)=11-5p<0から
11
-1
12
3 p
5
2<か<3
α<Bとすると, c<3<Bであるための条件は
(a-3)(B-3)<0
aB-3(α+B)+9<0
p+2-3-2p+9<0
く題意から, α=Bはありえ
ない。
すなわち
ゆえに
11
よって
b>
5
習|2次方程式x-2(a-4)x+2a=0が次の条件を満たす解をもつように, 定数aの
値の範囲を定めよ。
(1) 2つの解がともに2より大きい。
(2) 2つの解がともに2より小さい。
(3) 1つの解が4より大きく, 他の解は4より小さい。
(p.85 EX34
