Question

アルフィー

なぜ、mとnは互いに素なのか、またn二乗が4の倍数と言うところが分かりません

O(3) /2 が無理数であることを背理法を用いて示せ。

(3) (2 が有理数と仮定すると,
まず, 結論の否定
2つの自然数 m, nを用いて, /2=D と表せる.
m
(ただし,m, nは互いに素)
両辺を平方すると, 2m'=n°
左辺は偶数だから, n°も偶数. すなわち, nも偶数。
このとき,n°は4の倍数だから, 2m*も 4の倍数。
|最大のポイント
よって, m° は偶数となり, mも偶数。
ゆえに,mとnは共通の約数2をもつことになり,
mとnが互いに素であることに矛盾する。
よって,/2 は有理数ではない。
すなわち,/2 は無理数。
2 PILOT O.B SSERIES

Answer 1

濱田薫

m,nを互いに素な自然数と定義したのは、n/mを既約分数(これ以上約分できない分数、約分は分母と分子の公約数を消すから、公約数が1以外にない互いに素な自然数にしている)にするため。

n²が偶数という情報からnが偶数だと分かったので、kを自然数としてn=2kと置いてみると、n²=4k²となり、k²は自然数なのでn²は4の倍数になる。

Answer 2

ブドウくん

・互いに素でないということは、まだ共通の約数を持っているということなので、すなわちまだ約分できるということになります。どんな約分できる分数も最終的には、有理数である限り互いに素な形にまで持っていくことができます(5/15も150/200も1/3や3/4のようにできる)。そもそも、互いに素な条件があるからこそ矛盾を示せるので、こうしないと証明できません。

・nは偶数→n=2kとするとn²=4k²となるので4の倍数になります。