Question

ゲスト

数3の積分に関する質問です。
この問題では、f(x)は微分可能だという条件があらかじめ与えられているのに、なぜ最後にまた逆の確認をして微分可能性を示さないといけないのでしょうか。
説明していただけると助かります！

求めよ。

                                                                                                                                                                                                                                                                 

指針 条件(⑦)=|e*-1|から, (ダニ
い。 まず, 人 絶対値 場合に分ける か

>0 のとき ア(x)=ニダー1         9
             (*)=ー(@"ー1)ニー@ El

ら
O6o6 @

*く0のとき ア
は、⑥ と条件 (1)三6 から パテ
ェ>0 のとき           ES

 

そこで, 関数 7/(x) は メニ
im 7G@=im 7の=70 を

ェー+0

ミ     ES             >北チ      こう   ヘン電0
才分可能な関数7 が(0の1 を満たしバリーであるょ。 人  ジ
(|e"ー lr とすることはできな           上
押
陶

) が決まる。しかし,

                                 
   

3』|

0 で微分可能 = x三0 で連続 (ヵ.242 基本事項
利用して, 7(*) を求める。……

               ⑳ 人

人

 

目失 千

ァ>0 のとき, どー1>0 であるから   ア(z)=ニのー1
ょって 7の⑦=〆ーDみ=のーァC (C は積分定数)

プア(1)ニ6 であるから ee一1C
ゆえに    (の=      レたがので COのal ES ①

ェく0 のとき。のどー1く0 であるから に 、
7の=(-〆+Dgz

ニー@二ァ十 (の は積分定数) …… ②
から, ァー0 で連続である。

  
     
 

ア(?) は=テ0 で

 

 

四 ゆえに   im 7(⑦三 hm 2)三        寺
① から    jm 7 ターHml のニーィァ1)三2
②から im (= Him (一キャの)ニー1+の
0)  のle請1の三3
7227224G (の)呈寺60EXH9                る
Hmと
えっ0 ん
(のデア(DJ 、 2
の環ie
7C宅(0)
METI  in 」
よって, (0) が存在 し。 7%9 はァー0 で微分可能である。
上から    li(oE0)

を  とする。  7()

  
     
 

    

4間間数7G) at
5. * をNEWee
したがって, 1 re
区間で場合分けしra

は 607) 中

る7(>) は微分可能な虹

 

  

|tan2ァ1| げ(0)=ニ0 であるとき, 6

を

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

鹿

x=0で微分可能ならば連続ですが、逆は必ずしも成り立つとは限りません
つまり、微分可能という条件から導かれた連続という条件(「ゆえに」の後の赤字)は必要条件でしかないです

連続という条件から導かれた式で微分可能でないことが示される可能性もあり当初の条件から外れてしまうので、逆に連続の条件から微分可能であることを示さなければいけません

ゲスト

なるほど。。連続であるからといって微分可能とは言えないことは分かりました。でもこの場合、その連続だという条件が微分可能であることから結論付けられるので、なぜまた同じことを戻って確認するのか、そこが少し不自然に感じてしまいます…

鹿

連続の条件式は確かに微分可能という条件から導かれた式です
しかしこれは一般に必要十分性の保証された結論づけではなく、逆が成り立たなければ元々の微分可能の条件を覆してしまいます

普段の計算は同値変形が多いので、このようにわざわざ戻って確認することは少ないかもしれません
ですが、根本の考え方は「微分可能→連続」の微分可能条件は一般に十分条件でしかなく、逆が成り立たなければ最初の条件に合わないよね、ということで確認が必要になってくるわけです

ゲスト

ありがとうございます！納得できました！