Question

karin

どちらか1問でも良いので教えてください。お願いします🙇‍♀️

ソ2 + 1 の東部分を 小数部分をのとするとき,そー2。 の人を未めょ。

 

四   2信-のTe75 となるような有理数 gの値を求めよ。ただし, ac, 2が

有理数のとき, g二6/3ニc二の/3 が成り立つならば, gcかつ =すであることを用
いてもよい。

総合問題 39

Answer 1

LUX SIT

12. これはτさんの解答で申し分ないのですが, 考え方を加えておきます.
***
1^2=1<2<4=2^2から1<√2<2がいえる.
両辺に1を加えると2<√2+1<3なのでa=2, b=(√2+1)-2=√2-1
[a+b=√2+1とb=√2-1は共役な関係であることに注意する. ここではb(a+b)=1で, 複雑な問題の時には使える.]
したがって(a-2b^2)/b=(a/b)-2b=2(√2+1)-2(√2-1)=4[有理化と共役性の意味を考えると, こう変形するのが自然].
***
13. もちろんそのまま計算してもいいですが, ヒントの意味についても考えてみましょう.
***
(3+2√3)/(1-√3)=p+q√3
両辺に1-√3を掛けると
3+2√3=(P+q√3)(1-√3)
⇔3+2√3=(p-3q)-(p-q)√3
[⇔(p-q+2)√3=(p-3q-3)
p-q+2≠0と仮定すると, √3=(p-3q-3)/(p-q+2)
p, qは有理数なので右辺は有理数である. 一方, 左辺は無理数なので不合理である.
したがってp-q+2=0がいえ, このときp-3q-3=0(これがヒントの意味)]
ヒントから-p+q=2, p-3q=3がいえ, これを解くとp=-9/2, q=-5/2と定まる.

LUX SIT

そのまま計算するときは
(3+2√3)/(1-√3)=(-2)+5/(1-√3)=-2-(5/2)(1+√3)=-9/2-(5/2)√3
とすれば, 少し簡単になります.
p+q=-9/2-(5/2)√3
⇔(p+9/2)=-(q+5/2)√3
q+5/2≠0ならば, √3=-(p+9/2)/(q+5/2)
p, qは有理数なので右辺は有理数である. 一方, 左辺は無理数なので不合理である.
したがってq+5/2=0がいえ, このときp+9/2=0でp=-9/2, q=-5/2と定まった.
***
両辺に1-√3を掛けた解答は整数の和差積のみで計算しているのが長所. こちらの方が楽なときもあります[本問ではあまり意味がない].
そのまま計算した解答は整数を前に出す[どちらを出すかは形で判断]と有理化しやすくなる場合があります.

Answer 2

τ

1²<(√2)²<2²より, 1<√2<2であるから, 2<√2+1<3.
よって, √2+1の整数部分はa=2, 少数部分はb=(√2+1)-2=√2-1.
ゆえに, (a-2b²)/b=(a/b)-2b=(2/(√2-1))-2(√2-1)
=2(√2+1)-2(√2-1)=4.

(3+2√3)/(1-√3)=-(3+2√3)(1+√3)/2
=-(9+5√3)/2=(-9/2)-(5√3/2)
より, p=-9/2, q=-5/2.