Question

ゆぴ

ここの解き方（詳しい途中式）が分かりません。教えてください！

11 次の(⑳, (B), を同時に満たす 3 つの自然数 z。ヵ cの組をすべて求めよ。
ただじ, 2くのくc とする。
(A) , 2 cの最大公約数は 6 である。
軸          (B) 0, cの最大公約数は 30, 最小公倍数は 420 である。
(Q) 2, 5の最小公倍数は 180 である。

整数問題 数a 数研出版

Answer 1

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访客

(A)よりa,b,cの最大公約数が6なので
a=6a',b=6b',c=6c' {gcd(a',b',c')=1}
(B)より　b=30b",c=30c" {gcd(b",c")=1},30b"c"=420
(C)よりa,bは180の約数の１つであるからa',b',b"はそれぞれ180の約数です。

まずb,cから決めていきますね。
(B)よりb"c"=14 であるかれb"は14の約数です。(C)よりb"は180の約数でもあります。なのでb"は14と180の最大公約数の約数です。つまりb"=1またはb"=2
よって(b",c")=(1,14),(2,7) よって(b,c)=(30,420),(60,210)
　
ここで(C)よりa,bの最小公倍数が180なので
(ⅰ)b=30のときは30=2・3・5,180=2^2・3^2・5なので最小のaはa=2^2・3^2=36
これはa<bを満たさないので不適です。
(ⅱ)b=60のときは60=2^2・3・5よりa=2・3^2,2^2・3^2がa<bを満たす自然数となります。
したがって(A),(B),(C)を同時に満たす自然数は
(18, 60, 210), (36, 60, 210)

ゆぴ

困っていたので助かりました😌
ありがとうございました！