✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨
一部だけやりますね
<類題1>
1.
(1) どんな y∈ℝ に対しても
f(-y+1)＝-(-y+1)+1＝y
なので全射です。また、f(x)=f(y) のとき
-x+1＝-y+1 ∴x＝y
なので単射にもなります
(2) f(x)＝-1 となる x∈ℝ は存在しないので全射ではありません。また、
f(-1)＝f(1)＝1
なので単射にもならないです
2.
(1) どんな (z,w)∈ℝ² に対しても
f((z-w-1)/2,w+1)＝((z-w-1)+(w+1), w+1-1)
＝(z,w)
なので全射です。また、f(x₁,y₁)=f(x₂,y₂) のとき
2x₁+y₁＝2x₂+y₂, y₁-1＝y₂-1
∴x₁＝x₂, y₁＝y₂
なので単射でもあります
(2) どんな x∈ℝ に対しても
f(x,0,0)＝x+0+0＝x
なので全射です。一方、
f(1,0,0)＝f(0,1,0)＝1
なので単射ではありません
<類題2>
(1) f(x+y)＝2(x+y)＝2x+2y＝f(x)+f(y)
f(ax)＝2×ax＝a×2x＝af(x)
より線形です
(2) f((x₁,y₁)+(x₂,y₂))＝f(x₁+x₂,y₁+y₂)＝(0,0)
f(x₁,y₁)+f(x₂,y₂)＝(0,0)+(0,0)＝(0,0)
より
f((x₁,y₁)+(x₂,y₂))＝f(x₁,y₁)+f(x₂,y₂)
さらに
f(a(x,y))＝f(ax,ay)＝(0,0)
af(x,y)＝a(0,0)＝(0,0)
より
f(a(x,y))＝af(x,y)
したがって線形です
<類題3>
(1) f((0,1)+(2,3))＝f(2,4)＝(1,1)
f(0,1)+f(2,3)＝(1,1)+(1,1)＝(2.2)
より
f((0,1)+(2,3))≠f(0,1)+f(2,3)
なので線形でないです
こんな感じで、他の問題も解けると思います
