Question

ブドウくん

原点O , P(1,2,1) , Q(2,1,2) , R(1,-2,3)について、｜xOPベクトル+yOQベクトル+ORベクトル｜の最小値を求めよ。

この問題を成分表示で二次関数を用いて解く方法をやったあと、時間がかかるし間違えやすいからということで、外積を使うやり方を教わりました。しかし、意味不明です。最小値になるためには垂直であればいいから外積ということですが、なんで垂直のときに最小値をとるとわかるのですか、感覚的につかめないので教えてほしいです。
あと、最初の2行目から意味不明です。教えてほしいです。

Answer 1

gößt

↑OS＝－(x↑OP+y↑OQ)
とおけば、
|x↑OP+y↑OQ+↑OR|
＝|-↑OS+↑OR|
＝|↑SR|
x,yが実数全体を動くとき点Sは↑OP, ↑OQがつくる平面全体を動くので、|↑SR| は ↑SR がこの平面に垂直であるときに最小値をとります

3行目で ↑OP×↑OQ と平行な単位ベクトル ↑e を求めています。↑OP×↑OQ のまま ↑e を求めてもいいですが、より計算が楽な ↑n(=(1/3)↑OP×↑OQ) で計算しています

ブドウくん

2枚目のHRベクトル・・・からも解説をお願いしたいです。

gößt

↑HR=k↑e とおくと、画像より
k=|↑OR|cosθ=↑OR•↑e
あとは絶対値をとって内積の計算をしています

上の説明からもわかるように、|↑e|=1 であることがキーになっています

ブドウくん

たぶん、わかったと思います。
で、外積って入試とかでも使えるんですか？使えないなら、できなくてもいいかなって思えてきて

gößt

少なくとも、高校の学習指導範囲ではないですよね。新課程の内容は細かくは知らないのですが⋯

外積が学習指導範囲外なら、外積を使わないと解けない問題や使うことで圧倒的な時間短縮になるような問題は出されないでしょう。ロピタルの定理と同じように、知ってたら便利かもしれないけど知らなくてもいいと私は思います

ブドウくん

ありがとうございます。おそらくあの先生ならば、定期テストで空欄補充こ形で無理矢理外積を使うような問題を出してくるような気がします。だから、とりあえずはそこを捨てて、高3で余裕があればやってみようと思います。ありがとうございました。