Question

りり

三角関数の合成の公式の導出について。
画像2枚目下から2行目について。sを符号付きの面積として理解していると大丈夫ってなぜですか。

【面積を
一般に,座標平面上に3点O(0, 0), A (a1, a2),B(b1, b2) があるとき, △OAB
の面積は lab2-abilとなります。証明の方法はいろいろあります。
られていないかもしれません. 実はこれは次のように, はっきり定まっています :
ところで、この公式で, 絶対値記号の中の正負については,あまり高校生には語
半直線 OA 0を中心として回転させて半直線 OB に重ね合わせるとき, その回
転角が 0° と 180°の間にあるときはab2-abı 0, 180°と360°の間にあるときは
ab2-abı<0 です.なお,回転角が0° か 180°のときはa1b2-azbi=0 で,これは
3点0,A, B が一直線上にあり, OABが形成されない (一直線上につぶれてい
て面積は0と考えられる) 場合に相当しています.
B
y
B (b1, b2)
0°<ç<180°のとき,
a1b2-a2b1>0
A(a1, a2)
x
Y↑
180° <p <360° のとき,
a1b2-a2b1<0
7
A(a1, a2)
X
HE
B(b1, b2)
ということは,3点 0, A, B に対して, ab2-abı という値*4には, 半直線 OA
を半直線 OB に重ね合わせるのに必要な回転角を”として
0°<<180°のときは...12(4b2-a2b)は△OABの面積そのものを表す
1
180°p<360°のときは... (a,baby)は△OABの面積の1 倍を表す
という意味があるのです.
そこで, 1/2 (ab2-a2b)のことを,△OAB の符号つき面積といいます。
1/2 (a, b2-a2bi) は、その絶対値が常に △OAB の面積に等しく,0°<g<180°であれ

正, 180°ø<360° であれば負です.
2laibasb.Ayマイナスの
B(cos 0, sin e) を考えると, △OAB の符号つき面積Sは
1
さて,f(0)=3sin 0+2 cos 0 に話を戻します. 3点0(0, 0),
A(3,2),
737712
S=1/12 (3sin0-(-2)cos0/12 (3sin0+2cos=
=
=1/12/8(8) 座標をた△の
です. ここに f(0) が現れます.
(三)
一方、図のように角α (正とします) を定める
Y
と, sin∠AOB=sin(0+α) なので,
B(cos 0, sin 0)
S=1/
1 ・OA・OB・sin∠AOB
10
両門のけ ○
a
=
=
/32+(-2)2・1・sin (0+α)
=/%
・√13 sin (+α)
A(3,-2)
がわかります―0+αが0°から180°の範囲に収まらなかったとしても,Sを符号
つき面積として理解しているので, だいじょうぶです.
この2つの考察をまとめると、1/2f(9)=1/12/13 sin(+α),つまり
3 sin 0+2 cos0=√13 sin (0+α)

Answer 1

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もみじ

証明に3点が成す三角形の面積を道具として利用していますが、今回実際に導出するのは面積ではなく三角関数の合成結果がどうなるかなので、符号が−でも問題ないということですね。むしろ第3象限や第４象限のSinは−である必要があるので、このように理解しておかなくてはなりません。