Question

のあ

集合の証明の問題です。(3)について、答えと解き方を教えて欲しいです💦🙇‍♀️

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★★★☆
自然数mに対し, mの正の約数全体からなる集合をD(m) と書く。 例えば、
D (6) = {1, 2, 3, 6} である。 自然数nに関して, 次のことを証明せよ。
(1) D(m)nDn)CD(m+n)
(2) D(m) UD(n) CD(mn)
(3)
m∈D(n) ならば D(m) CD(n) であり, 逆もまた成立する。

Answer 1

シナプス

𝑚∈𝐷(𝑛) は 𝑚 が 𝑛 の正の約数という意味
いま、𝐷(𝑚) の任意の数を 𝑑 とする
𝑑 は 𝑚 の約数なので、ある自然数 𝑎 を用いて
𝑚＝𝑑𝑎 －①
と書ける
また、𝑚 は 𝑛 の約数なので、ある自然数 𝑏 を用いて
𝑛＝𝑚𝑏 －②
と書ける
ここで②に①を代入すると
𝑛＝(𝑑𝑎)𝑏＝𝑑(𝑎𝑏)
となる。
𝑎𝑏 は自然数なので、 𝑑 は 𝑛 の約数であることがわかる。
よって 𝑑∈𝐷(𝑛)
このことから 𝐷(𝑚) ⊂ 𝐷(𝑛)

𝑚 は自分自身の約数なので、
𝑚∈𝐷(𝑚)
仮定（𝐷(𝑚)⊂𝐷(𝑛)）より
𝑚∈𝐷(𝑛)

以上より
𝑚∈D(𝑛) ⇔ 𝐷(𝑚)⊂𝐷(𝑛)
が成り立ちます！