Question

アプリ開くの次質問したい時なので解答消さずに待ってて欲しいです😭1週間くらいでベスアンにします

なんでこのタイミングで積分定数を考える意味がわかりません。😭

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重要 例題 121
不定積分の部分積分法 (3) (同形出現)
1=Se*sinxdx, J=Se*cosxdx であるとき
(1) I=e*sinx-JJ=e*cosx+1 が成り立つことを証明せよ。
(2) I, J を求めよ。
基本 112 113
CHART & SOLUTION
積の積分
→
部分積分
sin, cos はペアで考える
(1) e*sinx=(ex)'sinx, excosx= (*)' cosx と考えて部分積分法を利用。
(2) (1) I, Jについての連立方程式を解く。
解答
(1) Se*sinxdx=f(e*)'sinxdx=e*sinx-fe* cosxdx
部分積分法
Se*cosxdx=f(ex)'cosxdx=e*cosx-Sex(-sinx)dx 部分積分法
J=excosx+I
①
(2)
I=e*sinx-excosx-I
すなわち I=e*sinx-J
(2) ①,② からJを消去して
① ② から Iを消去して
ゆえに、積分定数も考えて
I=1/2e*(sinx-cosx)+G
J=excosx+exsinx-J
別解 (1) (e*sinx)、
=e*sinx+excosx,
(excosx)'
=excosx-esinx
これらの両辺をxで積分す
ると exsinx=I+J
excosx=-I+J
ゆえに,与式が成り立つ。
INFORMATION
ze*(sinx+cosx)+C, mannia E)
同形出現の部分積分
例えばIのみを求める場合は,部分積分法を2回用いて, 同じ形を作るよう工夫する。
x-excosx-fe*(-sinx)dx}
Se*sinxdx=e*sinx-Sexcosxdx=e*sinx-
-Se*sinxdx
=exsinx-excosx
■同形出現
積分定数も考えて
Se*sinxdx=1/2e*(sinx-cosx)+C
r
のように計算してもよい (Jについても同様)。

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

tea*

不定積分において積分定数がそもそもなぜ必要なのか？を考えるとその理由がわかりやすいと思います🙌🏻

例えば2xを積分したものを考えるとき、微分して2xになるのはどんな式か？と考えると可能性として考えられるものはx²、x²+1、x²+2など様々あります。定数は微分するとすべて0になってしまうためです。
ですがそれら全てを書き出すわけにもいかないため、x²のあとに続く定数をまとめて積分定数Cとして置くことでx²かもしれないしx²+1かもしれないよ〜という可能性の幅を持たせています。

つまり、積分定数Cにどのような数が入るかは自由に解釈することができます。1かもしれないし2や3かもしれない。

なので、途中の段階から個々に積分定数Cをおいて計算するよりも、最後の最後に積分し終わったものに定数の可能性を考えて積分定数Cをおいてあげた方が無駄が少ないです。
途中の段階からC1、C2などと置いてしまうとC1+C2といったような虚無を計算することになったりしてしまいます。

なので結局は無駄を省きたいから！というのがそのタイミングで積分定数を考える理由です。

このような回答でいかがでしょうか？🙂‍↕️

アプリ開くの次質問したい時なので解答消さずに待ってて欲しいです😭1週間くらいでベスアンにします

わかりました！！ありがとうございます😻