Question

れもん

赤線部の意味がわからなかったので教えていただきたいです🙏

8 定積分と面積
定積分は,図形の面積と関係がある。 ここでは, 定積分を使っていろいろな
図形の面積を求めてみよう。
A 定積分の図形的な意味
5
関数 f(x) = 2x について考えよう。
Ly=2x
右の図において, 関数 y = 2x のグラ
フとx軸,およびx軸に垂直な2直線で
囲まれた斜線部分の面積は
2x
2
(2+2x)(x-1)=x-1
0
x
x
10であり,これはxの関数である。
ここで,この面積をS(x) とおくと
S(x)=x2-1, S'(x)=2x
f(x) = 2x であるから, S'(x)=f(x) が成り立つ。 すなわち, 面積
を表す関数 S(x) が関数f(x)の原始関数の1つになっている。
15
関数 y=2x のグラフと面積について調べたことを,一般の関数
y=f(x) について考えてみよう。
関数 f(x) は, 区間 a≦x≦bで
f(x)≧0 であるとする。
y=f(x),
右の図において,y=f(x) のグラフ
20 とx軸の間の部分のうち, x 座標がα か
らxまでの斜線部分の面積は,xの関数
である。この関数をS (x) とする。
S(x)
Oa
x
b x

>0のとき、右の図の斜線部分のy=f(x)】
面積はS(x+h)-S(x) である。 また,
xt≦xthで,Pは横の長さん, 縦のとき、
の長さ f(t) の長方形である。このP
P
の面積と斜線部分の面積が等しくなる
ようにをとると
0a
S(x+h)-S(x)=hf(t)
S(x+h)-S(x)
よって
=f(t)
f(t)
h
<0 のときにも、同じ式が成り立つ。
→0 のとき, t→x であるから, f(t) → f(x) となり
lim
h→0
S(x+h)-S(x)=f(x) すなわち S'(x)=f(x)
h
したがって、面積S(x) は関数f(x) の原始関数の1つである。
ここで,F(x) を f(x) の原始関数の1つとすると
S(x)=F(x)+C (Cは定数)
15
S(x) の意味から,S(α) = 0 である
から,① で x=a とすると
0=F(a)+Cli
すなわち C=-F(a)
これを①に代入すると
20
S(x)=F(x)-F(a)
よって,y=f(x)のグラフとx軸
①
y
S(x)
xtxbx
x+h
of
y=f(x),
S
O a
x b
および2直線 x=q,x=6で囲まれた図形の面積をSとすると
S=S(b)=F(b)-F(a)=Sof(x)dx

定積分

Answer 1

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フラッグ

数学3に「中間値の定理」という定理がありますが、それを用いて解説しましょうか？数学2の範囲にとどめた説明がいいですか？

れもん

できれば数2の範囲でお願いしたいです🙏

フラッグ

説明しましたが、なにぶん杜撰なため、分かりにくいかもしれません。不明点、おかしな箇所などありましたら、遠慮なくおたずね下さいm(_ _)m

れもん

理解出来ました✨️
ご丁寧にありがとうございました！！
分かりやすかったです🙏🙏