Question

ふーちゃん

数学の二次関数の最大最小の問題です。
なぜこのときにx＝2.y＝1になるのかが分からないので教えてください！

(1) 実数x, y について, x-y=1 のとき, x2-2y2 の最大値と,
そのときのxyの値を求めよ.

(1) x-y=1より, y=x-1
:x2-2y2=x2-2(x-1)=-x2+4x-2
=-(x-2)2+2
xはすべての値をとるので, 最大値 2
このとき,x=2, y=1

二次関数の最大最小

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

和

x²-2y²つまり(x-2)²+2は
x=2のときに最大値2をとります
ここまでは2次関数の最大最小の基本的な問題と同様です

x=2のとき、x-y=1という関係からy=1です
まとめると、x=2, y=1のとき、
x²-2y²の最大値2です

ふーちゃん

なぜ最初にy＝x -1を代入して求めたx＝2、y＝2が答えではないのですか？

和

どこからy=2が出てくるのですか？

和

こういうことかな…

y = -(x-2)²+2だったら、確かに
x=2のとき、yの最大値が2です

今回は
x²-2y² = -(x-2)²+2です
x=2のとき、x²-2y²の最大値が2です
yが2ではないのです

ふーちゃん

y = -(x-2)²+2だから最大値の2がyだと思っていました。
今回はこれを求めたいのではなくて、
x²-2y² = -(x-2)²+2だから、このまま最大値の2をyとするのではなく、x²-2y² の最大値2の時のx＝2を始めのx-y=1に代入しないといけないってことであってますか？
何度もすみません！

和

その通りです
いつも「y=」とは限りません
今回の関数も「y=」とは書いていませんね
「x²-2y² =」と書いていますね

ふーちゃん

ありがとうございます😭

Answer 2

まる

-(x - 2)²+ 2 という式は、2次関数のグラフで、下に開いた放物線（∩）の形になることはイメージつきますか？
この式の 最大値 （∩のてっぺんの部分）は (x - 2)² = 0 のとき、つまり x = 2 のときにとります。
▶︎補足として、ｰ1を代入したらｰ7、1を代入したら1となってしまう。だから0が適しているのです。
そのときの値は -0 + 2 = 2です。
よって、x＝2

y＝xｰ1に x＝2を代入すると

y＝2ｰ1
y＝1

なので、x＝2 y＝1になります。

分からないことがあったら質問してください！