Question

シュルーム

(2)(3)の違いがよく分かりません。右ページの➗3！
をする理由を読んでもまったく分かりません。誰か教えて欲しいです

372
基本 例題 25 組分けの問題 (2)
・組合せ
0000
9人を次のように分ける方法は何通りあるか。
(1)4人,3人, 2人の3組に分ける。
(2)3人ずつ, A, B, C の3組に分ける。
(3) 33組に分ける。
る
東京
(4)5人、2人, 2人の3組に分ける。基本21
指針 組分けの問題では,次の① ② を明確にしておく。
①分けるものが区別できるかどうか
②分けてできる組が区別できるかどうか
「9人」は異なるから, 区別できる。
......
特に,(2) と (3) の違いに注意。
(1) 3組は人数の違いから区別できる。 例えば, 4人の組を A, 3人組をB, 2人の
組をCとすることと同じ。
(2)組に A,B,Cの名称があるから, 3組は区別できる。
(3)3組は人数が同じで区別できない。 (2) で, A, B, C の区別をなくす。
→3人ずつに分けた組分けのおのおのに対し,A,B,Cの区別をつけると,異な
る3個の順列の数 3! 通りの組分け方ができるから,[(2) の数]÷3! が求める方
法の数。
(4) 2つの2人の組には区別がないことに注意。
なお,364 基本例題21との違いにも注意しよう。
(1)9人から4人を選び, 次に残った5人から3人を選ぶ
解答
と,残りの2人は自動的に定まるから, 分け方の総数は
9C4X5C3=126×10=1260 (通り)
(2) Aに入れる3人を選ぶ方法は
3-(A-8)
C3通り
Bに入れる3人を, 残りの6人から選ぶ方法は
6C3通り
Cには残りの3人を入れればよい。
したがって, 分け方の総数は
9C3 × 6C3=84×20=1680 (通り)
2人,3人,4人の順に選
(1)
八郎(S)
んでも結果は同じになる。
4×53×2C2としても
同じこと。
(2),A,B,Cの区別をなくすと、 同じものが3!通 次ページのズーム UP 参
りずつできるから、分け方の総数は
(9C3 × 6C3)÷3!=1680÷6=280 (通り)
(4)A(5人),B(2人), C (2人) の組に分ける方法は
9C5×4C2
B,Cの区別をなくすと、 同じものが2! 通りずつでき
るから,分け方の総数は
(9C5×4C2)÷2!=756÷2=378 (通り)
照。
<次ペ
本

組合せを利用する組分けの問題
[類 東京経大 ]
基本21
25の(2)と(3)の違い, 特に (3) ÷3! とする理由について、具体的に見てみよう。
●状況がわかりやすくなるように工夫する
373
「「9人」の中に同一の人はいないから、区別できる。 それがわかりやすいように,
9人をそれぞれ番号 1, 2, 3, 9で表すことにする。
3! とする理由を,別の視点で考えてみよう
区別できる。
違いに注意。
組をB, 2人の
例えば,1,2,3,
す。
つけると,異な
3! が求める方
......
9の9人を {1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9} のように 3
組に分けた場合について考えてみよう。 このとき, (2) で組に A, B, Cと名称を
1
章
A
B
付けた場合,次のような分け方があり,この場合の数は3!通りである。
C
{1,2,3},
{4,5,6},
{7,8,9}
{1,2,3},
{7,8,9},
{4,5,6}
{4,5,6},
{1, 2, 3},
{7, 8, 9}
{4,5,6},
{7,8,9},
{1,2,3}
3! 通り
{7,8,9},
{1,2,3},
{4,5,6}
=3つの組 {1, 2, 3}, {4, 5, 6),
{7,8,9}, {4,5,6},
{1,2,3}
人,4人の順に選
言果は同じになる。
×22 としても
。
{7, 8, 9} の順列の数。
・他の組, 例えば{1, 4, 7}, {2, 5, 8}, {3, 6, 9} についても,同様に 3! 通りある。
(2)ではこれらを区別するのだが, (3) は単に「3組に分ける」とあり,A,B,Cのよ
うに,組に名称は付いてない。
よって,単に3組に分ける方法の数をNとすると, N通りの分け方のおのおのに、
組の名称を付ける方法が3! 通りずつある。
介
D
(E)
ゆえに NX3! 9C3X6C3
よって
N=9C3×6C3
3!
ズーム UP 参
これが÷3! とする理由である。
(4)の2!の意味は?
ズーム UP参
1.389 EX 22
分ける。
A組5人,B組2人, C組2人の3組に分ける方法は Cs×4C2通り
ここで,例えば
A{1, 2, 3, 4, 5},B{6,7},
C{8,9}
A{1, 2, 3, 4,5}, B{8, 9}, C{6,7}
は異なる分け方であるが,A,B,Cの区別をなくせば同じ分け方である。
組に名称を付けない方法の数をNとすると, 同じ数のB組, C組の2組に名称
を付ける方法が2通りあるから N×2!=95×42/
よってN=
9C5X4C2
2!
注意 5人の組は他の2人の組と人数が異なっているから, 名称を付けなくても2
人の組と区別できる。

組分けの問題