Question

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赤で囲ったところで、2<a<4だったらaの値は3しかありえないからx=4のときが最小値になると思って計算したら、解答ではa+1のまま計算してたんですけど、二次関数では最小値の数を特定にせず計算するべきなんでしょうか？

時間15分
定数とし,a> 2 とする。 xの2次関数 y=x2-2 (a+1)x+α² -2の1≦x≦5にお
ける最大値を M, 最小値を m とする。
to
このとき,M=d2-アαイである。
M 4.大量
また, 2<a<ウ のとき
のときm=エオ a-
ウ ≦a のとき
(1)
(0)
m=d² キク α+ケコ である。
したがって,M=3m+38 となるのは,αサ, シスのときである。
J

練習問題
f(x)=x2-2(a+1)x + α2-2 とおくと
f(x)={x-(a+1)}2-(a+1)2+α2-2
={x-(a+1)}2−2a-3
よって, y=f(x) のグラフは軸がx=a+1で下に凸の放物線である。
a>2から
M=f(1)=12-2(a+1)・1+α2-2=α2-72a-13
また
[1] 3<a +1 <5 すなわち 2<a<4のとき
m=f(a+1)=エオー2a-3
[2] 5≦a +1 すなわち 4≦a のとき
[1]
m=f(5)=52-2(a+1)・5+α°-2=α2_キク10α+ コ13
[2]
1a+1:5
5 a + 1
<< 基本 6-1,基本6
<< a+1>3であるから、
は1≦x≦5の中央より右側に
る。
<< a+1>3より,常に定義
(x=1) で最大
<< [1]2 <a<4のとき
頂点のx座標 (x=a+1)で
[2] 4αのとき
定義域の右端 (x=5)で
最大
0 1
小
M=3m+38 が成り立つのは
[1] 2<a<4のとき
最小
a2-2a-3=3(-2a-3)+38
すなわち
a2+4a-32=0
(a+8)a-4)=0
よって
a=-8,4
これらは2<a<4を満たさないから不適である。
[2] 4≦a のとき
a²-2a-3=3(a2-10a +13)+38
すなわち α2-14a+40=0
(a-4)a-10)=0
よって
a=4,10
これらは4≦a を満たす。
したがって, 求めるαの値は
a=4, シス10
<<解法のポイント>>
軸が動く 2次関数の最大・最小
軸 (x=a+1) の位置で場合分けをする。
・最小値グラフは下に凸であるから,軸の位置によって, 3<a +1 <5 と
5≦a+1の場合に分けて考える。
・最大値グラフは下に凸であるから, 軸から遠いほどyの値は大きい。よっ
て, 区間の両端(x=1, x=5) と軸までの距離が等しいときのの
値が場合分けの境目となる。 なお,本間ではα+1>3であるから、
x=a+1は常にx=5に近い。ゆえに場合分けは不要で M=f(1)
<< 基本 6-3
<< 求めたαの値がαの
かどうかを吟味する。
<< 基本 6 -3