Question

りー

画像1枚目の問題で、画像2枚目の別解2で解いたのですが、最後の行(赤線部)の他の解の出し方が分かりません。教えてください🙇

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基本 例題 62 解から係数決定 (虚数解)
00000
3次方程式 x+ax2+bx+10=0の1つの解がx=2+i であるとき, 実数
の定数 α, bの値と他の解を求めよ。
〔山梨学院大 ]
p.98 基本事項 2 基本 61
CHART & SOLUTION
x=α がf(x)=0の解⇔f(α) = 0
代入する解は1個(x=2+i) で, 求める値は2個 (aとb)であるが,
複素数の相等 A,Bが実数のとき A+Bi=0⇔ A=0 かつ B=0
abに関する方程式は2つできるから, a,bの値を求めることができる。
実数を係数とするn 次方程式が虚数解 αをもつとき、 共役な手順

よって
ゆえに
-4x+5)(x+2)=0
x-4x+5=0 または x+2=0
x=2±i, -2
x+(a+4)に
α=-2 を代入すると
x+2
したがって、他の解は
x=2-i, -2
別解 2 実数を係数とする3次方程式が虚数解 2+i をもつ
から, 共役な複素数 2-iもこの方程式の解である。
の部分の断り書きは
重要。
(2+i) + (2-i) = 4, (2+i) (2-i) = 5
よって, 2±iを解とする2次方程式の1つは
x2-4x+5=0
したがって
x3+ax2+bx+10=(x²-4x+5)(x+c)
とおける。 両辺の定数項を比較して
10=5cb5
10=5c すなわち c=2
ゆえに x+ax2+bx+10= (x2-4x+5)(x+2)
右辺を展開して整理すると
gを解とする2次
方程式の1つは
x²-(p+q)x+pq=0
左辺の定数項は10であ
るから, c=2となるこ
とは,すぐわかる。
(右辺) =x3-2x2-3x+10
左辺と係数を比較して
他の解は
a=-2,b=-3
係数比較法
x=2-i, -2
別解 3 実数を係数とする3次方程式が虚数解 2+i をもつ
から,共役な複素数 2-iもこの方程式の解である。
←x+2=0 から x=-2
の部分の断り書きは
重要。
残りの解をとすると、3次方程式の解と係数の関係によ
は実数

Answer 1

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バンダースナッチ

1個は因数定理が安牌ですかね(候補多いっちゃ多いけど)。あとは実数係数なら共役も解になるので、それで分かりますね