Question

ℳ

数学の問題です🙏🏻
問題(3+i)z-5(1+5i)=0　この時のZ=□+□iを求めよ
答え　Z=4+7i

解説
(3+i)z-5(1+5i)=0　
(3+i)z=5(1+5i)
z= 5(1+5i)/(3+i)
z=4+7i

確かにこれを展開して解くことは出来ますが、私は最初恒等式で解こうとしました。
答えが変わってしまったんですけどこれは恒等式で解くことができないんでしょうか。

↓自分の解き方
(3+i)z-5(1+5i)=0　
3z+iz-5-25i=0
(3z-5)+(z-25)i=0　より
3z-5=0 、z-25=0
3z-5=z-25
z=-10

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

バンダースナッチ

3番目までは(議論そのものの善し悪しは置いておくことにして)まあいいですよね。ただ、その次がまずいですね。なぜなら、z-25=0からはz=25が。3z-5=0からはz=5/3が導かれているわけです。この時点で破綻していますね

さて、そもそも何が悪かったのかといえば、質問者さんが3行目で分けたところが、実は比較しているものがふたつの実数の含まれた式だ、ということです。つまり、(3(a+ib)-5)+(a+ib-25)i=0を本来は比較するべきだったわけです。すると、そもそも実部と虚部の比較はここから直ちには出来ませんね(複素数z,wに対して、z+iw=0を満たすようなz,wはただひとつに定まりますか？実際に計算してみましょう)

恒等式として解けるか、という当初の問いに答えると、できます。実際、先程間違っていたくくり方を変えれば良いのです。そもそも、恒等式そのものは単に｢等号が成り立つためにはものによって諸々の条件を満たさないといけなかったりしますよね｣ということを格好よく言ったに過ぎないので、｢いやまあ=が出てくるなら恒等式だよ｣と言えなくもない訳ですから

Answer 2

𓆩 (*´▽`*)✿𓆪

複素数をa+biで表す条件はaかつbが実数であることです。問題文からzは虚数かもしれないので、3z-5またはz-25が虚数の可能性があり、恒等式で解くことはできません。

ちなみに、
3z-5=0　…①
z=5/3

z-25=0　…②
z=25

3z-5=z-25
z=-10

よって①②を同時に満たす実数zは存在しないことがわかります。