Question

Y

ここで、の後のβ/αがどうして出てくるのか、実数となるのかが分かりません。至急教えて頂きたいです🙇‍♀️🙇‍♀️

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複素数平面上において,三角形の頂点をなす3点をO(0), A(a),B(B) とする。
(1) 線分 OA の垂直二等分線上の点を表す複素数zは, az+azaa = 0 を満た
すことを示せ。
(2) OAB の外心を表す複素数を とするとき, 1 を α, a, B, B で表せ。

(2) (1) と同様に考えて, 線分 OB の
垂直二等分線上の点を表す複素数 z
は, Bz+Bz-BB=0 を満たす。
B(8)
△OAB の外心は, 線分OA の垂直 0
二等分線と線分 OB の垂直二等分
A(a)
線の交点であるから, 21 は
azi+azı-aα=0
①,
Bz1+BZ-BB=0
②
をともに満たす。
① ×β-② xα から
(aß-aß)zi-aẞ(a-B)=0
ここで, aβ-α = 0 とすると
B_B
=
すなわち (C)o
B
B
=
a
a
a
a
B
よって,
は実数となるから, 3点0, A, B が一直
a
上にあることになり,三角形をなさない。
したがって, aβ-aβ 0 であるから
aẞ(a-B)
21=
1
aβ-aβ
(2₁ = Bap³ — aß³²
Bla-alB
でもよい
aβ-aß

複素数と図形

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

Mackarel

バーをかけないので a* の記号でaの共役を表します。

「ここで」の式：
z1 の式を求めるときに z1 = αβ(α*-β*) / (α*β - αβ*) となるので、もし (α*β - αβ*) = 0 だったら0で割るのでこれが破綻してしまいます。それの確認です。

複素数とその共役が等しいなら、その複素数は実数だといえます：
a+bi = a - bi なら、2b = 0, b = 0.

もし (α*β - αβ*) = 0 だったら、α*β = αβ*　⇒　β/α = β*/α*
複素数とその共役が等しいので、β/α は実数。

しかしそうなると α = λβ (λは実数）の形で表せることになり、ベクトル上これは OA // OB を表すため、A, B が一直線上にあることになる。そうなるとOABは三角形ではなくなるので、垂直二等分線は存在しない。
そのため z1 が存在するとき、 (α*β - αβ*) ≠ 0

となるわけです。

Mackarel

β/α = β*/α* = (β/α)* でしたね、すみません。