Question

りゅう

【1】極値を求める問題で（x,y）＝(0,0)の時、へシアンが0になってしまって、どうやって極値があるかないか見分けるのかわからないです。

ネットでも同じような問題があって、それを見ていたのですが、全然理解できなくて、良ければ教えて欲しいです🙏

[1]
(1)
f(x)=(チス+ソース+
(大学)の偏導関数を求めると、
+x(x-1)=8(4x+7) - 4x (x² + y² )
+y(x,y) = 2(4x+7) - 4 y (x² + y²)
ty(x.go②③②を解くと、
①-②×4
(8 (4x+7) - 4x (x² + y²) = 0
-8(4x+yl-16g(x+y^2)=0
16g(x+y)-4x(x+2)
(x+y^)(16g-4x)=0
x=4yより、②に代入すると
=0
かる。
2-17g-4g-17g=0→34g(1-242)=0 y=0,土
よって、
(x)=(0.0)、±(1/4)
となる。
detH(f(x)=132ー12ー4g2
(i) (x,y)=(0.0)のとき、
8-87x
8-827
2-4x-1272
でるので、
detH(f)(0.0)=
y=x
32
8
=64-64=0
8
2
レーズンゾーマズ+4xy-24 のとと、
ext
2522-4x+
x215-22)(5~2m):0
近畿大学数学教室

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

ChatGPT (FakeAI)

平面x=0上においてf(x,y)の増減を調べる。f(0,y)を計算すると、
f(0,y)=y²-y⁴　
この曲線は(0,0,f(0,0))で極小となる。
ところが、平面y=-4x上でf(x,y)の増減を考えると、
f(x,-4x)=-289x⁴
この曲線は(0,0,f(0,0))で極大となる。
したがって、(0,0,f(0,0))は極大でも極小でもない。

・別の考え方

xy平面において(0,0)近傍上の点(u,v) をとると、
f(u,v)=(4u+v)²-(u²+v²)²
u,vは微小なので、例えばu>0,v>0なら
(4u+v)²>>(u²+v²)²より、
f(u,v)>0だが、4u+v=0が成り立つときは
f(u,v)<0になる場合が出てくる。
そのため、(0,0,f(0,0))は極値をとらない。

りゅう

なるほど！方針とてもわかりやすかったです！！
ありがとうございます😊