Question

ゆう

（1）のところで2つ質問です。　

①【ヒント】のところに書いてある総和を出すところで波線を引いているところがわからないです。
②最後の総和は全て足し算なのではないですか？何故かけ算なのですか？

(1) 540 の正の約数の個数を求めよ。 ただし, 1 および 540 も, 540 の約数
(久留米大*)
である。さらに,これら約数の総和を求めよ。
(2) 2"5" (m, n は整数) の形の整数で100以下であるものはア個あり、
(長岡技科大)
それらの総和はイである。
ヒント! (1) 540=22×33×5と素因数分解すると, 約数の個数が計算できる。
その総和は等比数列の和の積の形になる。
参考
18の約数の個数について,
0,1 0,1,2
18=20×32より,
(i) 2 の指数は0,1と2通りに,
(ii) 3の指数は 0,1,2と3通りに
変化する。
∴約数の個数は2×3=6個ある。
次に,これらの約数の総和は,
2°×3°+2°×3'+2x32 {2°の系列
+2' × 3° +2' × 3' +2'×32-2′の系列
=2°(3°+3'+32) +2'(3°+3' +32 )
=(2°+2')(3°+3'+3') (キレイな形!)
=(1+2)(1+3+32) =39 となる。
(1)540 を素因数分解して
(0, 1, 2) (0, 1, 2, 3] (0, 1
540=22x30x50
よって, 540 の約数の個数は,
3 × 4×2= 24
さらに,これら24個の約数の総和S は,
S=2°
3°.5°+2°35'
.
+ 2° 3′.5° + 2°3'5'
+2233.5°+22・3'5'
なんでかけ算?
これをまとめて
キレイな形
S=(1+2+22) (1+3+3²+3)(1
=7×40×6=1680........
(2) 2"5" ≦100(m,n:0以上の整数
これは整数なので,m,n が負に
なることはない
(i)n=0のとき, 2" ・5°=2" ≤ 10
m=0,1,2,3,4,5,6 の7通
(ii) n=1のとき、2" 5' = 5.2" s
•
m=0,1,2,3,4の5通り
() n=2のとき,"52=252"
m=0,1,2の3通り
以上(i)(i)(Ⅲ)より,求める2"
の形の整数で100以下のものは,
7 +5 + 3 = 15個存在する。・・・(ア)
次にこれらの総和Tは,
T=5°(2°+2'+2' + ･･･ + 2°
+ 5'(2° + 2 ' + … + 2
+ 52(2° +2'+22)
=(1+2+4+8 + 16 +32 + 64
+5 (1 + 2 +4 +8 +16)
+ 25 · ( 1 + 2 + 4 )
= 127 + 155 + 175
=457...(イ)・

Answer 1

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和

②「参考」は読みましたか？
読めば、どんな変形をしたかわかると思います
流れを見ないでいきなり
(1+2+2²)(1+3+3²+3³)(1+5)を見るから
「なぜ掛け算？」と思うのだと思います

Sはかなり多くの数の和ですが、
適切に因数分解することにより
比較的簡単な「和の積」にまとめられます
計算の工夫ですね

結果を覚えてもいいかと思います
実際、(1+2+2²)(1+3+3²+3³)(1+5)を分配法則でバラすと、
確かに24個の約数の和になっていますね

①その結果、()内はそれぞれ等比の和になっている、
ということです
1つ目の()内は1+2+2²、
2つ目の()内は1+3+3²+3³
といった具合です
だから等比の和の公式を（使いたければ）使える、
ということです

ゆう

参考を読んだら理解できました。
すいません、ありがとうございました。