Question

りり

解説の上から3-4行目がわかりません。なぜ、aの最小値とf(x,y)=~~~の最大値が等しいんですか。

めよ。
A
3 任意の正の数, y に対して
(x + y)³ ≤ a(x³ + y³)
が成立するような定数 αの最小値を求めよ。

【解答】
両辺x +y^ (0) で割って
(x + y)³
(x+y)2
≤a ..
x3+g3
x² = xy + y² a
これが任意の正の数x, yに対して成立するような定数
(x + y)²
α の最小値は, f(x, y) =
の最大値に等
x2-xy+y2
しい。
f(x, y) =
=
2
(+1)
TC
+1
y
y
y
=t とおくと, t>0で,
(t+1)2
t2 + 2t + 1
f(x,y)
=
=
t2-t+1
t2-t+1
3t
=1+
t2-t+1
3
=1+
t+
(+++)-1
ここで, t>0より, 相加平均・相乗平均の関係から,
1+1/22/11/1=2
t+
(等号成立条件はt=1/12t=1(0)=y)

よって
3
f(x, y) ≦1+2-1
=4
以上より, 答はa=4
・・(答)
【別解】
(x + y)³ ≤ a(x³ + y³) ......①
これが任意の正の数x, y に対して成立するには,
=y=1で成立することが必要で、
(1 + 1)3 ≦ α(13+13)
⇒ 4 ≤ a
逆に4≦aのとき, 任意の正の数æ, y に対し① が成立
することを示す。
a(x³ + y³) - (x + y)³
≧4(m + y) - (x + y) ( a ≧ 4,°+y° > 0)
-
=(z+y){4(z2-zy+y2)-(x+y)2}
=(x+y)3(z2+y^ - 2æg)
=3(x+y)(x-y)2≧0
よって示された。
以上より, 答はα=4 ・・・・・(答)

Answer 1

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きらうる

例えばa＝1で、f(x,y)≦1　となるf(x,y)の値は大きくても1であればいいですよね。小さい方はなんでもいいのです。
a=-10とかでも、f(x,y)≦-10　となるf(x,y)の値は大きくても-10です。

だから、aの最小値とf(x,y)の最大値は等しいと書かれているのです。