Question

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この問題の クケを求める問題で、何故わざわざ平行完成を行ったのでしょうか？
解説お願いします🙏

第7問 (選択問題) (配点 16)
〔1〕 太郎さんと花子さんは, 2次曲線の性質について話している。2人の会話文を
読んで,下の問いに答えよ。
太郎: 楕円は, 2定点F, F' からの距離の和が一定である点Pの軌跡だよね。
花子 : 2定点からの距離の差が一定なら双曲線になるよね。
太郎 : 放物線は,定点F と, F を通らない定直線からの
距離が等しい点の軌跡だよね。
花子 : 楕円や双曲線の定義と放物線の定義は設定が違うね。
太郎: 定点FとFを通らない定直線からの距離の比が一
定という設定にした場合どうなるか調べてみよう。
F
さい。
ここで,
オ
コ
また、
焦点の座標 (p, 0),
キ
のときの楕円は, 長軸の長さ
0 である。
短軸の長さ
サ
のときの双曲線の漸近線は, 直線 y=
xをx軸方向
に シ
だけ平行移動したものである。
イ
I
|の解答群 (同じものを繰り返し選んでもよい。)
O p
① 2p
②が
③ 2p
④ (1+rz)
⑤ (12)
⑥(1-r)
⑦
オ
キ
の解答群 (同じものを繰り返し選んでもよい。)
方程式は
(1) F(c, 0, F'(-c, 0) のとき, 2定点F, F' からの距離の和が2αである楕円の
0
r>1
① 0<r<1
(2 r=1
ク
コ の解答群 (同じものを繰り返し選んでもよい。)
Q2
62
=1 ただし, b2=
ア
の解答群
10~0
a²+c²
a²-c²
②√a²+c²
2
サ
2pr
2pr
1-2
①
1+re
2pr
√1+22
2pr
③
√1-22
p(1+r2)
p(1-2)
p(1+r²)
p(1-r²)
B
1-2
(5
1+2
√1-2
√1+22
の解答群 (同じものを繰り返し選んでもよい。)
Þ
√2+1
① re-1
(3
1-re
1+re
(2) 太郎さんと花子さんは定点と定直線からの距離の比が一定という設定にした場
合どうなるかを調べることにした。 すると,そのような設定の場合も2次曲線に
なり,比によって, 2次曲線の形が決まることが分かった。
p > 0, r>0 とする。 点F (p, 0) からの距離とy軸からの距離の比がr:1で
ある点P(x, y) の軌跡の方程式を求めると
(数学Ⅱ・数学B 数学C第7問は次ページに続く。)
イ 2_
x+y2
=0
となるから
オ
のとき,楕円を表し、
カ のとき, 放物線を表し,
キ
のとき, 双曲線を表す。
(数学Ⅱ・数学B 数学C第7問は次ページに続く。
数学Ⅱ・数学B 数学 C-16
数学Ⅱ・数学B 数学 C-15

第7問
平面上の曲線/複素数平面
(1)
速効
r>0より, 0 <r<1 (①)オの (答)
(⑤ ①,②) イ,ウ,エの(答)
・方程式 ③が楕円を表すとき,xとyaの項の係
数の正負は同じだから, 1-20
0 <r <1のとき, 01 <1より,
と表されるから,こ
pr
A-
B=
pr
1-
とおくと, ④は、
x
=0
A
「アプローチ
◆題意をつかみ, 解答方針を模索
する
最初の会話から, 定点と定直線から
の距離の比を用いて2次曲線の方程式を
求めようとしていることを読み取ろう。 2
次曲線では, 方程式の係数の値によって
曲線の形が異なる。 それぞれの曲線を
表す式の特徴に注意して条件を求めよ
う。 また, 平方完成による式変形によっ
て、2つの焦点を結ぶ線分の中点が原
点であるような曲線をどのように平行移
動したのかがわかる。 文字が多く, 複雑
な式となるが、自分で文字を置き直すな
どして式の形が見やすくなるように工夫
しよう。
r>0より, r=1
Þ
つまり、
+
A2
B1
(A> B > 0)
y = + B'
ATX
と表されるから、この楕円は、
土
pr
y2
A+
<=1 ....... ⑤
B2
・方程式 ③ が放物線を表すとき, x2 の項の係数
は0だから、 1-r=0
をx軸方向に
P
だけ平行移動したものである。
1-2
・・・・・･カの (答)
短軸の長さは2B=
A>Bより, 楕円 ⑤の長軸の長さは2A=
2pr
√1-2
2pr
をx軸方向に
だけ平行移動
[2]
である。 また,
速効
アプローチ
√A-B2=
pr
pr
√√ p²² — p²² (1-2)
=
1-2
pr-2
(1)
この楕円の焦点がF(c, 0), F'(-c, 0) だから,
Na°-b2=c より,b=ac (①)
・方程式 ③が双曲線を表すとき,xとy2の項の
係数の正負は異なるから, 1-r < 0
r>0より, r>1 (⑩)
pra
prz
より, ⑤の焦点は,
(-)
キの (答)
である。
......アの (答)
(2) 点Pから軸に垂線PH を引くと,
④の長軸の長さは
JA
平行移動しても長軸と短軸の長さは変わらないから,
2pr
......クの (答),
1-7-2
数動あまの位う
複
数値と
動の
ある
てド
P(x,y)
H
2pr
短軸の長さは
の
また、④の焦点は ⑤の焦点をx軸方向に
D
0
F(p.0)
ここで,r=1のとき, 1-r2≠0 であるから,
③より,
だけ平行移動したものだから、
平成
pre
+
PF=(x-p)+y ...... ①
PH=|x| …2
(1)(
2p
-x
1-2
)+ y²+p² = 0
PF:PH=r:1より, PF = PH
両辺は0以上により, 両辺を2乗すると,
PF2=rPH2
① ②を代入して,
(x-p)2+y^2=rxu
x2-2px+p°+y=rxu
(1)x-2px+y+p=0③
(1-1)(x- +y2=
p > 0, r>0より,
(1-2)2
x-
1-2
2
(1)+1
(1-1)(x
p
x-
1-2
1-2
· + y²+p² = 0
(p,0),
p
1-re 1-re
pre
1-2-2
+
(1+1²)
1-2,
1-2
1-2
(A. 0), ((±),0) (0)
1-2
0)(コの(答)
また, r>1のとき2-1>0より,
p(1-r²)
2=pより、
1-r
1-2
pr
re-1
A' = B' =
pr
√2-1
とおくと,④は,
1-2
=1
1-
1.2
A'2
B'z=1
(A'> 0, B'> 0)

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

🍇こつぶ🐡

yは2乗の形になっている。xが2乗の形になっていないため平方完成した。これにより、xとyは2乗の形になり、定数項を右辺に持っていく。この定数項の値で両辺を割り、右辺を1にすることで、A,Bが決まり、その値を2倍することで短軸、長軸の長さが求まる🙇

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理解出来ました！ありがとうございます！