Question

りゅう

この命題についての質問です

まず1つ目
写真2枚目で、示したようにa-ε〜a+εはanの範囲であってmの範囲では無いのに、なぜ、この開区間にam＋1,am＋2､､､ のようなam〜の値も含まれるんですか？
言い換え⇒
「am〜はなぜan-ε＜an＜an+εの部分集合なのか」

2つ目
どこからm＋2個の実数が出てきたんですか？また、なぜその要素は1枚目に書いてあるようになるんですか？？

あと最後の結論で言っている
最大値と最小値はどこの要素を表していますか？

分からないので教えて欲しいです🙇‍♀️

命題 収束する数列は有界である
証明) an=aとする。
Vε>O, "me N
48701
-8<an-a<ce
menEN(nm);lan-alcza-scancate
つまり、
amel, amez, i, E (a-ε, a+ε)
が成り立つ
=1とすると、
amel, amtzr
t
(a-l,at4) が成り立つ
r
そこで、(m+2)個の実数からなる集合{a,,a2, am,a-l,a+1}の
最小値をA、最大化をBとおくと、
UnEIN, A≦an=B
よって、収束する数列は有界である

0-8
anの範囲
ate

Answer 1

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哲治

論理式が全く読めてないですね。
任意のεに対して、ある自然数mが存在して、n>mとなるようなすべての自然数nに対して、a_nとaの誤差はε以内となるという意味です。
だからm+1番目以降のa_nは全てaとの誤差がε以内に入ります。

哲治

後半についてですが、n+1番目以降は全て(a-ε,a+ε)の中なので、それ以前のa1からamまでのm個を考えたら、最大、最小の幅に入ってるから有界なわけです。

哲治

最後に最小と最大になる元はどれかは特定していません。
しかし有限なm+2個を比較してるわけなんでそこには必ず最大、最小が存在するわけです。

りゅう

返答遅くなりすいません！

それ以前のa1からamまでのm個を考えたら、最大、最小の幅に入ってるから有界なわけです。

これどうゆう意味でしょうか？？imageができてない状態です、、

しかし有限なm+2個を比較してるわけなんでそこには必ず最大、最小が存在するわけ

これは一例としてm＋2をあげているだけでmとかでもいいんですか？

哲治

一例としてでは全くないです。
a_1-a_mまでのm個と開区間の両端a-ε,a+εの二個を足した
m+2個となります

哲治

こんな感じ。

りゅう

a1〜a＋εの間での最大最小ですか？

a1＝最小
a＋ε＝最大

哲治

最大、最小は具体的には特定していません。
最大、最小が存在することのみが言えます。
それさえ言えれば有界と言えます。

りゅう

普通にa1が最小になるとは限らないですね！！理解出来ました！ありがとうございます😊