Question

瀬名斗

例題48です。
解答の添削をお願いします🙇

86
例題 48
集合の相等の証明
8
例題 46
Zを整数全体の集合とするとき、次の集合A,Bは等しいことを証明せよ。
A=(2x+3yxEZ, yeZ}, B= {3x+5yxEZ, yEZ}
2つの集合の相等 AB を証明するには、次の2つの方法がある。
① 相等の定義 (p.83) に戻って,次の2つを示す
ACB (xEA ならばxEB)
BCA (xEB ならばxEA)
② 計算法則の利用 (ド・モルガンの法則やか.79 分配法則の利用)
ここでは2は無理であるから、の方針によって証明する。
10
法則
1
正
と
(S) (18) (8) (1S-4X8
CHART
集合の包含
相等の証明
[
① xEA を考える
② 計算法則
[答案 [1] αEAならば
a=2m+3n (mEZ, nEZ)
と表される。
このとき
a =3n+2m=3n+(5m-3m)
=3(n-m)+5m
Bの要素の形に変形。
n-mEZmEZであるから
よって
aЄB
α EA ならば α∈B
が示された。
6=3m+5n(m=Z, nEZ)
ACB
[2] b∈B ならば
と表される。
このとき
b=3m+5n=3m+(2n+3n)
=3(m+n)+2n
m+nEZnEZであるから BEA
よって
BCA
2.0) (
[1] [2] より, ACB かつ BCA であるから
[(SA=B
重要 ACB の証明 「xEA ならば xEB」 を示す。
A B の証明 「ACB かつ BCA」 を示す。
す
=
=83Aの要素の形に変形。
EBならばbEA
が示された。
練習 48 集合 A={n+n|nは整数},B={2n|n は整数}について, ACB である
A ことを証明せよ。
48 整数全体の集合Zと集合 A={2x+3y|x∈Z, y∈Z} について,A=Zで
B あることを証明せよ。

NO.
DATE
である。
が、真
48
aEAとするとa=2x+5gとおける.
a=2x+3y=(3.4~5.2)x+13.6-5.37g
2
3(4x+6y) 5(2x+3y)
4gと2x3gは整数なので、
3(4+6g)~5(2x+3) EB
acAならばaEBより、ACB
aEBとするとa=3ス+5とおける
a=3n+5g=(2-3-3-1)x+(2-4-31)g
=213x+4g)-3(+α)より
3n+4g,gは整数なので
2(3x+4)-3(x+4) EA
acBならばaeAより ASB
ADBからACB より AA=B
んだ
かつ
ある
き

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

なむる

基本的に問題ないと思います。
ただ、「a∈Aとすると」と「a∈Bとすると」の行で、xとyが紹介なく唐突に出てくるので、x∈Z, y∈Zであることは一言触れておいたほうがいいと思います。

瀬名斗

ありがとうございます
参考にさせていただきます。