以下のように解いてみました。
（解説の画像を添付されると、不明点について説明しやすいです）
z=a+bi(a,bは実数、zは虚数なのでb≠0)とすると
z+1/z=a+bi+1/(a+bi)
=a+bi+(a－bi)/{(a+bi)(a－bi)}
=a+bi+(a－bi)/(a²+b²)
=a(a²+b²+1)/(a²+b²)+bi(a²+b²-1)/(a²+b²)
となる。
（1）z+1/z = 実数 ⇒ 虚部=0
b=0 or a²+b²-1=0
zは虚数なのでb≠0
よって a²+b²-1=0
|z|=|a+bi|=a²+b²=1
（2）z+1/z = 整数 ⇒ 虚部=0 かつ a(a²+b²+1)/(a²+b²)=整数
虚部=0 ⇒ a²+b²=1 であるから a(a²+b²+1)/(a²+b²) = 2a
よって 2a=整数
・a²+b²-1=0、2a=整数 を満たすa,bを探す。
a²+b²-1=0より-1≦a,b≦1、また 2a=整数であるから、
a=-1,-1/2,0,1/2,1であることが分かる。
b≠0であるから a=-1/2,0,1/2となり、
bを求めると、
(a,b)=(-1/2,±√3/2),(0,±1),(1/2,±√3/2)
↓こうしても良い
(a,b)=(0,±1),(±1/2,±√3/2)（複合任意）
