Question

あ

東工大数学
採点していただきたいです。
途中まで(ノートの左下)で間違えています
50点中何点もらえますか？

24
する。 辺ABを
xl-x (0≦x<l) の比に内分する点Pと,辺ACをy: l-y (0≦y<1> の比に内
分する点Qをとり、線分BQ と線分 CP の交点をRとする。 このとき, RがAM
に含まれるような (x,y) 全体をxy平面に図示し, その面積を求めよ。 (ただし、道
AB. 辺ACを0:1の比に内分する点とは,ともに点Aのこととする。)
2003年度 (3)
△ABCにおいて, 辺ABの中点をM. 辺ACの中点をとする。
ポイント 前半は、平面ベクトルの典型問題である。 平面上のどのようなベクトルも
その平面上の2つのベクトルa, a≠0. b=0, ax b) を用いて, Bb (a. B
は実数) の形に表されること, そしてその表し方は1通りであることは重要な事実であ
る。また、△ABCの間および内部にある点Pは, AP=αAB+ BAC (a+β≦1,420
B20) で表されることもマスターしておくべき基本事項である。
520) 不等式の表す領域の図示と面積を求めるための定積分計算である。
解法
△ABQにおいて, AQ=yAC (0≦y<1) であるか
ら,実数s を用いて
AR = (1-s) AB+syAC (0≦s≦1) ...... ①
と表せる。
また, ACP において, AP=xAB (0≦x<1)
であるから実数を用いて
AR=AB+(1-1) AC (0≦t≦) ....... ②
と表せる。 ABとACは1次独立 (AB AC.
MEAN
AB≠0. AC ±0) なので ①②より
したがって. ①より
AR=(1-1-4) AB+1-5
1-xy
ここで
-xyAC=
x (1-y)
1-xy
B
1-s=tx, sy=1-1
が成り立つ。 0≦x<1,0≦y<1に注意して, この2式からtを消去すると
1-1
E'S
(1-x)
-AB +
Level B
M
O
P
_y(1-x) -AC
1-xy
x(1-y)
1-xy
とおくと AM=
y (1-x)
9=
1-xy
AM-AR AN-ACCA&
AR=pAB+qAC=2pAM+2qAN
となり、点Rが△AMN に含まれるためには
xy-
2p+2q≦1④
が成り立つことが必要十分である。 ③を用いると, ④ ⑤ はそれぞれ
y(1-x)206
1-xy
x+y-2xy=-xy
=
1-xy
0≦x<1,0≦y<1より. ⑤'は成り立つ。
また, 0≦x<1,0≦y<1に注意して, ④'を変形す
ると
よって, 0≦x<1,0≦y<1のもとで, ④’を満たす
点(x,y)をxy平面に図示すると、右図の斜線部
分(境界はすべて含む)になる。
すなわちy=1/1 23
2p20. 2q205062
[注]不等式 (x-2)(x-2/31) 2010/19
リー
=
x (1-y),
-≥0.
1-xy
5- £² (1.-7. 3) 4
S=
9
2
----
(10)+
§3 平面図形 129
UN
+ 1/23 を描く。 次に、この境界線で区切られた3つの部分の1つを選
y=
の表す領域を図示するには、まず境界線 (x-2)(x-2)=1/
*3
び、その中の1つの点の座標を不等式に代入してみて、成り立てばその点を含む部分に
斜線を施し(同時に境界線をまたいだ隣の隣にも斜線を施す)。 成り立たなければ隣の
部分に斜線を施す。 正領域∫ (x,y) > 0.負領域f (x,y) <0は境界線をまたいで交互に
現れることを利用するのである。
さて 求める面積をSとすると

130 解答編
=
1.1
==
-log-+
4 3 39
であり
1 2
BR QC AP
RQ CA PB
[参考] △ABCの辺BC, CA, AB またはその延長が, 三角形の
頂点を通らない1つの直線と, それぞれ点P, Q, R で交わ
るとき,次の等式が成り立つ。 AP & MARSMAGSFOAD
=
BR CA PB
=
RQ QC AP
AR=
·=1
BP CQ AR
PC QA RB
これは「メネラウスの定理」 と呼ばれ,これを使うと, 本間
FIRMAS
では,AR が比較的簡単に求まってしまう。次のようにすれ上題となるこの並
ばよい。
図 1
05 (x-1) z
-
-=10-1
が成り立つから (図2), x=0 としておけば
1 1-x
1-y x
BR+RQ
+1
log2
=
-AB+
BR
RQ
_ x (1 −y) AB+
-xy
......
x (1-y)
(答)
1+
y
(RQ・AB+BR・AQ)
1
THE DUSJ2 P
20
RQ
BR
BA-MA
R
そしてその表し方は1通りであること
1-x s & J P 12, AP=2AB =[AC LE
-
435
YAC
を求めるための
P
(1-x) AC
1-xy AC(x=0の場合も含む)
S
B
AA
R
図2
C
ANSTO 4TY FOTO 1>120 Jei
(12)

とむける また
£
AD=成ごとすると、
AM=h
AN == C
AP XX
AQ = y c
z
と表せ
G
AR² = m AP + (1-m) AC²
xme+ (1-m) 2
2
6
BR = RN = k·l-K (0 ≤K<₁)
PR: RC=1-mm (0 ≤m²1)
=
A
トラ
(1-K) I + K AQ
-
= (1-k) ²+ ky 2²
2
AR =
1-m= ky
が成り立つ。変形して、
m = 1-ky
X (1-ka)= |- K
=
o
=
N
AR =
x-kaa=1-k
K(1-x)-1-X
E
覚では一次独立であるから、
Xm=1-k
X--X
C
2x (1-2)
1-x7
K=1-X (05X<1, 0{y <1 :-@)
x (1->)
1-x7
(1+
-1-X2
LOESEL
2x(1-g)
may
と表すことができる。
含まれるの
2x (1-2)
1-x2
+
・AM +
1-X7
y (1-x)
(-xy
I 24 (1-x) 2
+
2
1-x2
2
27(1-x)
を満たすときである。
2
22 (1-x)
-S,
1-x2
1-xz
さ
AN
RADAMMIL
TO
= t
SAM + LAN ed anal
ost≤ 1 x
ておくと、
Stt ≤ 16 Szo, tzo
したがって、
05 S 4109 0stel,
2x (1->)
¥1かつ 0≦
$1]
1-x2
→ 0 ≤ 2x (1-7) ≤ 1-X96> 0 ≤ 27 (1-x) ≤1-77 (0)
2- = <3 <1
7
0≤
N
32
かつ
28 ((-x)
1-x²
y ≤ 2, X 11 (0)
を以下の太枠。
---(x-2)
y=2-文
170 R22 s r 2. C.
S = S ₁ ² x dx - Sj (- —- ) dx
2-XX
0
=
= [-log|2-x1]! - [2x. - log|x|]!
= -los 1 -(1932) - {(2-1631)-(1+132)}
= log2 - (1 - log 2)
= 2log 2-1 (28)