Question

おにぎり

⑶の最後のシャーペンで囲ったところがなぜそうなるのかわかりません

56
第1章 数列の極限
例題21
a1=4, an+1= 6
(n=1, 2,3,......)
で定義される数列{an} について,次の問いに答えよ.
(1) 1<a≦4 を示せ.
(3) limam を求めよ.
1140
考え方 (1) 数学的帰納法を使う.
n=kのとき, 1 <a≦4 が成り立つと仮定して
n=k+1 のときも成り立つことを示す.
数学的帰納法と極限
an²+5
6
(2)(1)で示した 1<a,≦4 を利用できるように,Qn+1−1=ℓ
解答 (1) 1<a, ≤4
･･ ① とおく .
(I) n=1のとき, α=4 より ① は成り立つ.
(II)n=kのとき, ① が成り立つと仮定すると..
1<a≦4
より
る.
(3)(2)で示した不等式を利用して, 例題 17 (p.47) と同様にして極限値を求めればよい。
数学的帰納法で示す。
(2) an+1−1=
21
つまり, 1<ak+1 <4
6
EV EV
したがって,n=k+1 のときも ① は成り立つ .
よって, (I), (ⅡI)より すべての自然数nについて
1 <a≦4 が成り立つ.
6
an+1
6
よって,
1²+5__a²+5_4²+5
6 6
6
an²+5
VII
6~1
an²-1
6
= (a + 1)(α =1)
ここで、1<a≦4より,
an+14+1
(2) an+1−1≦22 (an-1)を示せ .
5
6
6
OHA
この形つくりたいから
(an+1)の方もってくる
(an+1) (an-1) ≤=(an — 1)
ww
5
an+1−1≤ (an-1)
*****
….... ②
(0)
a2+5_1 の右辺を変形す
仮定した式について
1.各辺を2乗する。
2.各辺に5を加え
3.各辺を6で割る.
2150
PAR
an+1−1 と
an-1の
10
関係式にする.
因数分解して次数
下げるのと同時に
(a-1)を作る.
各辺に1を加えて
で割る.
0.0.9
an-1>0
>1より,

****
を変
ばよ
ついて
(3) ②より
これと (1)より,
ここで, lim3・
11 →∞
うちの原理より
n→∞
a.-13(a-1-1)
5\n-1
0<an-1≤3.(
よって,
○○
より
lim(a-1)=0
n→∞
\n-1
(8)" (a₁-1)=3-()
5\z-1
6
n→∞
(5)²(a₂-2-1)
liman=1
Focus
(Jう予想した lima の値を利用せよ
n→∞
漸化式 an+1= 6
注》〉(2)による誘導がない場合は,次のように考えるとよい .
lima=α とすると
an²+5
liman+1=lim-
n→∞
α==
=0 であるから,③とはさみ
an²2+5
6
5
a²+5
したがって
6
これより, a=1, 5
(1) より a=1
と予想できるので,lima=1 を示す.合
n→∞
無限数列
(個人・
a₁=4
903 $310
はさみうちの原理を
利用する｡
03 lima, a y,
→∞
liman+1 = α
500 4655FSD SSD
極限値を α とおいて,
αの値を予想する.
1200
#33JSXC1
1≦limam=a≦4
57
11-0
第1章
注) 例題21の(2)で出てくる。という値は何を意味するだろうか、また、例題21では,上
手に不等式の評価に持ち込み,その後,その不等式を繰り返し、最終的には「はさ
みうちの原理」を用いて{an}の極限値を求めている.このことを次ページの解説で
もう少し分析してみよう.

Answer 1

ミッキー様

(an-1)の極限が0ってことがわかってますよね。
ここで、極限なのでn→∞です。
lim(an-1)=0
lim(an)-1=0
(1はnによらないのでn→∞であろうが1は1です)
(anが収束するのでこう書いちゃいますね)
ということはanの極限は1です