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3択の問題1個をランダムに答えるとき、正解する問題の数は1と0ですね。
この1, 0はそれぞれ以下の確率に対応しているため、正解する問題の数は確率変数です。
ランダムに選んだ選択肢が正解である確率1/3
ランダムに選んだ選択肢が外れる確率1-1/3=2/3
これを確率変数Xとします。
Xの期待値E[X]は期待値の定義より
E[X]=1×1/3+0×2/3=1/3となります。
6題をランダムで答えた時の正解数の期待値を問われているようなので、Xと同じ性質をもつ別々の確率変数X_k (k=1, 2, 3, 4, 5, 6)の6つを考えます。
これらは1問目から6問目までそれぞれ個別にランダムに回答していった場合の、それぞれ個別の正解数で、1か0の値をとります。
では6問通しでランダムに回答した時の正解数の合計を表すどうなるかというと
X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + X_5 + X_6ですね。
この期待値E[X_1 + X_2 +…+X_6]は期待値の線形性より
E[X_1] + E[X_2] +…+ E[X_6]と等しくなります。
ここまでで結構説明した事を式にすると
E[X_k]=E[X]より
E[X_1 + X_2 +…+X_6]
=E[X_1] + E[X_2] +…+ E[X_6]
=1/3+1/3+1/3+1/3+1/3+1/3
=6/3
=2
期待値は2
