基本例題 40 絶対値を含む1次方程式 (2)
次の方程式を解け。
(1) |x-1|+|x-2|=x
指針> 絶対値記号を場合分けしてはずすことを考える。 それには,
A A≧0 のとき
|A| =
-A A<0 のとき
であることを用いる。 このとき, 場合の分かれ目となるのは,
A=0, すなわち,||内の式=0 の値である。
(1) 2つの絶対値記号内の式x-1, x-2が0となるxの値は,
それぞれ1,2であるから, x < 1, 1≦x<2、2≦xの3つの場合
に分けて解く。
(2) 内側の絶対値記号からはずしていく。
(2) ||x-4|-3|=2
解答
(1) [1] x<1のとき,方程式は -(x-1)-(x-2)=x
すなわち
-2x+3=x
これを解いて x=1
[2] 1≦x<2のとき, 方程式は (x-1)(x-2)=x
これを解いて x=1
[3] 2≦xのとき, 方程式は
すなわち
2x-3=x
これを解いて x=3
以上から, 求める解は
(2) [1]
x=1は x<1を満たさない。
x=1は1≦x<2を満たす。
(x-1)+(x-2)=x
x=3は2≦xを満たす。
x = 1,3
4 のとき, 方程式は | (x-4)-3|=2
すなわち
|x-7|=2
ゆえに x=9,5
I [2] x<4のとき, 方程式は
すなわち |-x+1|=2
ゆえに x=-1,3
以上から 求める解は
別解] ||x-4|-3|=2から
よって |x-4|=5,1
|x-4|=5から x-4=±5 これを解いて x=9, -1
|x-4|=1から x-4=±1 これを解いてx=5,3
以上から, 求める解は x= -1, 3, 5,9
よって x-7=±2
これらはx≧4を満たす。
|-(x-4)-3|=2
よって
x+1=±2
これらは x<4を満たす。
x=-1, 3, 5,9
|x-4|-3=±2
[(2) 類 東京薬大】
基本93
基本39
x-2<0
x-10-10
N
x-1≧0,x-2<0
2
場合の分かれ目
<x1>0,x-2≧0
x-220
<x-1<0, x-2<0→
- をつけて|をはずす。
最後に解をまとめておく。
x
<c>0のとき, 方程式
|x|=cの解は
x=±c
外側の絶対値記号からはず
すと別のようになる。
69
一章
4 1次不等式
答えは合っているが
確実に大丈夫とは言えない。
[2]は x＝1の後に
条件1≦ⅹ＜2を満たしいるから
x＝1は方程式の解となる
[3]はx＝3の後に
条件2≦ⅹを満たしいるから
x＝3は方程式の解となる
この2点が重要になってくる。
記述問題になるとこの2点がないと
減点される可能性は高い。