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Mathematics

มัธยมปลาย

ประมาณ 2 ปีที่แล้ว

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252 数学A A={3, 6, 9, 12, 15, 18} B={1, 4,7,10, 13, 16, 19} C={2, 5, 8, 11, 14, 17, 20} 2枚のカードの整数の和が3の倍数になるのは, [1] A から2枚取り出す [2] B, C からそれぞれ1枚取り出すのいずれかであり, それぞれの場合の数は 6.5 [1] 6C2=- -=15(通り) 2･1 EX 035 [2] ,CX,C1=7×7=49 (通り) よって, 求める確率は (2) 1から20までの和 32 = 15 +49 64 190 190 95 1+2+3+ +20=210 は3の倍数である。よって, 17枚のカードの整数の和が3の倍数になるのは,取り出さない残りの3枚のカードの整数の和が3の倍数になるときである。残す3枚のカードの取り出し方は [1] A から3枚取り出す [2] A, B, C からそれぞれ1枚取り出す [3] B から3枚取り出す [4] Cから3枚取り出すのいずれかであり, それぞれの場合の数は 6.5.4 3･2･1 [1] 6C3 = - =20(通り) [4] 7C3=35 (通り) また, 3枚残す場合の数はよって, 求める確率は [2] 6C1×7C1×7Ci = 6×7×7=294 (通り) 7-6-5 3.2.1 [3] 7C3 = - = 35 (通り) 20 +294 +35+35. ·· 20C3 20 C3通り 384 384 20･19・18 20･19・3 3･2･1 64 32 19.10 95* A, B, Cはそれぞれ 3で割った余りが 01, 2のグループ。 62通り em, nを整数とすると, B, Cの要素はそれぞれ 3m +1,3n+2の形で表される。これらの和は (3m+1)+(3n+2) =3(m+n+1) であり, 3の倍数となる。取り出す 17枚について考えるのは大変なので、残りの3枚のカードについて考える。 2個のさいころを同時に投げて、出る2つの目の数のうち, 小さい方 (両者が等しいときはその数) を X, 大きい方 (両者が等しいときはその数) をYとする。定数αが1から6 数とするとき、次のようになる確率を求めよ。までのある整 [ 関西大 (1) X>a (2) X Sa (3) X=a 2個のさいころを同時に投げるとき, 目の出方は 17枚取り出す場合の数 2017 通りと同じ。 (4) Y=a 1 (1) X>α となる場合は, X≧a+1 であるから、その場合の数は 1≦a≦5 として, a+1, a+2, , 5, 6 の異なる 6-(a+1)+1=6-α (個)の中から重複を許して2個取り出す順列の数で ( 6-α) 通りこれは,α=6のときも成り立つ。よって, 求める確率は (6-a)²(6-a)² - 62 36 (2) (1) の余事象の確率であるから 1- (6-a)²36-(36-12a+a²) 36 36 a-(a-1) 3 36 3 (a-1)²1 36 第2章確率 a²-(a−1)² 36 a a² 336 (3) 2≦a≦6 のとき, X ≦a-1 となる確率は, (2) の確率にお別解 (3) 一方が他いて, a に a-1 を代入すると得られる。方が α+1, a+2, ......, 5,6のとき X=α となる確率は, X≦αとなる確率から X≦a-1 と、なる確率を引いて a²-(a-1)² a 1 36 18 36 (1) 小さい方の数が (a+1) 以上になる確率。 <X>6 となる場合はないすなわち0通り。 ← 「小さい方の数がαより大きい」という事象の余事象である。 253 (6-a)×2! i 2つともαのとき1通りよって (6-a)x2!+1 36 a 13 36 1/1/201 2a-1 13 a 11 36 36 18 α=1のとき,すなわち X=1 となる確率は, 少なくとも1 個は1の目が出る確率で 1. 52 11 6236 したがって, ① は α=1のときも成り立つから, X = a (1≦a≦6) となる確率は 13a 36 18 方が 1 2, a-1 (4) Y=α となる場合の数は, Y≦α の場合の数から Y≦a-1 (4) 一方がα,他の場合の数を引いたものである。 Y≦a となる場合の数は, 1,2,.., a-1, α のα個の中から重複を許して2個を取り出す順列の数で α2 通りのとき (a-1)×2!通り 2つともαのとき1通りよって 2≦a≦6 のとき, Y≦a-1 となる場合の数は, 1, 2, a-2, a-1 の中から重複を許して2個を取り出す順列の数で (a-1)2 通りよって, Y=a となる場合の数は ²-(a-1)2 (通り) a=1 のとき, Y = 1 となるのは1通りであり, このときも2個の目の数がともに成り立つ。 1のとき。ゆえに, 求める確率は 2個とも2以上の目が (a-1)×2!+1 36 18 36 2章 EX

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คำตอบ

たぬきち

ประมาณ 2 ปีที่แล้ว

(1)a<X
aより小さい値が出ると条件を満たせないので、
2つのサイコロがa+1〜6の値を取れば条件を満たします。
ここで、サイコロは6までしか目がないので、a=6の時は条件を満たすのが不可能になります。
ここに注目して場合分けをしてあげましょう。
(i)a=6のとき確率は0
(ii)a≦5のとき
各サイコロの出目がa+1〜6に収まれば良いので
各サイコロの出方は6-(a+1)+1=6-a通りです。
２つのサイコロが6-a通りずつの出方を持つので、
全部で(6-a)²通りの出方があります。
したがって、確率は(6-a)²/36

a=6のとき(6-a)²/36=0となるので、
(i)(ii)を合わせて (6-a)²/36となります。

(2) これは(1)の余事象にあたるので

1 - (6-a)²/36となります。

(3) X=a
aとa以上の目が出れば良いわけです。
1個のサイコロを振ったとき、
aの目が出るのは1通り
a以上の目が出るのは6-a+1=7-a通り
なので、
1×(7-a)通りの出目の組が考えられます。

分母を36通り(順列)で考えるのであれば、(a,6)と(6,a)を別々に数えるため1×(7-a)×2通りとしたいところですが、(a,a)という出目が厄介なので、もう少し細かく考えてみましょう。

a以上の出目をbと略記します。

(i)a=bのとき
出目はaが2つなので1通りだけ存在します。

(ii)a≠bのとき
(a,b)という出目の組に対して、サイコロの出方が
(a,b)と(b,a)の2通り存在するので、
7-a通りのうち(i)の1通りを除いた6-a通りの出目の組には(6-a)×2=12-2a通りの出方が存在します。

(i)(ii)から1+12-2a=13-2a通りの出方が存在するので
(13-2a)/36となります。

(4) Y=a
aとa以下の目が出れば良いわけです。
サイコロを1個振ったとき
aが出るのが1通り
a以下の目が出るのはa通り
なので1×a通りの出目の組が考えられます。

ここでも(3)同様に場合分けをします。
a以下の目をcと略記します。

(i)a=cのとき
出目はaが２つなので1通りだけ存在します。