Question

あみ

92(2)の赤のマーカーのところはなぜ2/1が∫の前につかないんですか？
分母の差を∫の前につけるんじゃないかと89(1)を見て思いました。

第6章積分法
168
92 指数関数の積分
dx
(2) S-₁10-
次の定積分の値を求めよ。
fe*(e*+1)³dx
③-dr
CCE
指数関数のゴチャゴチャ型です。 積分においてeのもつ最大の利
益は 「(*)'=e² 」 ですが, その理由は 89 注の文章にかいてありま
す。 すなわち,
何かをひとまとめに考えたとき, その微分がかけてあれば、
必ず置換積分ができる
からです. ただし,この基礎問も単にこの知識だけでゴールに着けるわけでは
ありません。
解答
105 106
244
(1) Sex(e+1) dr において, e"=t とおくと
x:0→1のとき, t:1→e
dt=e² より dt=erdx
また、 dx
..
fu+-+-+1)-2
1)2dt=|
(e+1)³-8
3
【無理に展開する必要はない
(別解) (+1)をひとまとめと考えると, その微分は….)
Le+1+1'dr-e+1)-(e+1)-8
=
3
(2) において1e~"=t とおくと
dx
11te-x
x:-1→0 のとき, t:1+e → 2
P484
また,
dt
多項式の方をもと
dx
=-e-* =
dt
-=1-t より
dx
おくのが願!
基礎問
精講

169
dt
1-t
to EP
dt
rite
S₁²e t(1-² t)=√₁₂²+ dt
..
t(t-1)=√₁ (1²14) a
dt
189
1+e
-[log (t-1)-log t]-[log1"
1+e
=
12
-log-log 14 (
2e
e
1+e
=log
1+e
(3 nis/golz.200
dx
L₁₁te === S-₁₂²+₁ dx
(別解)
◆分子分母に e² をかける
ro (ex+1)'
10
= ₁ (²+1) dx = [log (e²+1)] = log2-log(e-¹+1)
-1
KOME
1+e
e
2e
-108 1+e
=
d=log2-log-
log
(3) redz において,r=t とおくと
xe
x:0→1のとき,t:0 → 1
また,
*t, dt=2x ky 1 dt = xdx
1
::
Set. -1/2 dt =
=/fedt=
(別解)((-x2)をひとまとめと考えると･･･)
1²/²² -₁
(-x²) e ²³ dx = -²1² [e-²²] ²
red=-2-
=1/(1-1/2)
e
●ポイント (あるいはe-²)からできている式の積分は
e
e²=t (あるいは e-²=t とおくことを考える
=dx
¹ dt = ²/² [ -e -¹] ² = ²1 (₁-¹1)
(zgol)
第6章

第6章 積分法
162
89 分数関数の積分
x-1
dx
フェ
次の定積分の値を求めよ.
x²-2x-3
dx
x²-2x-3
分数関数の積分の勉強ですが,基本は次の2つです。
精講
-+C (p-1)
•[x²dx=7 p+1
•f-dx=log|x|+C
しかし,これだけでは積分できません。これらを使う前に必要な作業が今回
のポイントです.また, (1), (2)は同じように見えるかもしれませんが、ふつう
は同じ方法では積分しません. (2)は, 特殊な形をしているのです (実は, 84 も
同じなのです).
結局、ここでも「式の特徴を見ぬく力」 が要求されます。
解答
(1) r²-2x-3-(x-3)(x+1)+(1-²-3-x + 1)
(x−
→下の注
dx
1
...
√₁²²²-²2²2-3-²-√² (2²-²3-x + 1)dx
=
12/10g|x-31-log|x+11=1 [108 ||
x-3
JS/2dx=log|x|+c
//2/dx=10g
x+1
= (log1-10g3)=110g3
4
注 この作業は,数学ⅡI・B6 (1), 数学Ⅱ・B 119 にでてきている「部
分分数に分ける」という作業です. このように, 分母を1次式にでき
れば、積分の基本の公式 (83)が使えるわけです.
(2)((1)と同じ方法で)
x-1
a
x2-2x-3x-3
=
b
+
とおくと,
x+1
ħiï=
a(x+1)+b(x-3)_(a+b)x+a-3b
t51.2011laie
(x-3)(x+1)
x²-2x-3
基礎問
係
(別

Answer 1

mo1

89の(1)では

下の[注]で書いてあるように、

　「部分分数に分ける」作業をすると、係数(1/4)が出てきます

【1/{(x－3)(x＋1)}＝1/4[{1/(x－3)}－{1/(x－1)}]】

●その結果、係数が∫の前に出ています

―――――――――――――
92の(2)では

同様に

　「部分分数に分ける」作業をすると、係数(1)　つまりそのままの形です

【1/{t(t－1)}＝1[{1/(t－1)}－{1/t}]】

●その結果、∫のまえには、何も出ていません

―――――――――――――

補足

「部分分数に分ける」を軽く見直すと良いかもしれません

あみ

分母の差1ですね！笑
計算ミスでした💦
ありがとうございます！

mo1

＞分母の差1ですね！

●ちゃんと、おわかりの様です　＾＾　

　見直す必要はなさそうです。しつれいしました。＾＾；