Question

すずらてん

付箋貼ってあるところ

どうしてn<=mのとき、なんですか？

大抵の場合n=mのとき成り立つと仮定すると、じゃないですか？

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(1) 22*を求めよ。
k=
(2) 2k2* を求めよ。
k=1
(3) 次の関係式を満たす数列 {a,} をすべて求めよ.
Eka,=(n-1)(2 +2)+2 (n=1, 2, 3, ……)
カー)
(埼玉大)
k=1
k=1
(思考のひもとき
1.
S= r+2?+3r+
+nr"
の両辺をr倍すると
rS,=
+2r+
+(n-1)r"+nr"+1 となり辺々引くと
(1-r)S,=|r+ +r +. +p"ーnr*+1
解答
(1) 初項2, 公比2の等比数列の初項から第n項までの和を求めて
=22-2-1-2(2"ー1)
k=1
k=1
2-1
(2) S,= 2k2* とおくと
k=1
S,=1-2 +2-2°+3-2°+
1·2°+2·2°+
-S= 2 + 2° + 2° +
=2*+1-2-n-2"+1
ア =(n-1)·2"+1+2
…+n-2"
-)2S,=
+2"-n-2*+1

こka=(n-1)
2a+2)+2(n=1, 2, 3, ) 0
=1
ので、 n=1 として
#=2 として
a=2
a,+2a,=(a,+a;+2)+2
. a2=4
a,+2az+3as=2(a,+as+as+2)+2
n=3 として
. as=8
これらより
,=2"
と差定される。(*)が、すべての自然数nについて成り立つことを数学的帰納法で
す。
) a,=2=2" より、 n=1 のとき(*)は成り立つ。
Sm のとき、(*)が成り立っと仮定すると
Q=2(k=1, 2, ……, m)
…の
が成り立つから、①で n=m+1 の式を考えると
第+1
m+1
2ka= m 2 a。+2)+2
k=1
(k=D1
2より
+2)+2
m
Sm+(m+1)am+1=m(22°+a
-am+1
k=1
(1),(2)の結果を用いると
(m-1)2"+1+2+am+1=m-(2"+1_2)+2m+2
… am+1=2"+1
となり、n=m+1のときも(*)が成り立つ。
よって、①を満たす数列(a,)は
a,=2"
Thかる方法と同じである。