Question

Ha_tig

助けてください。
解説を読んでも全体的に理解が出来ません。
解説をお願いします。

(4) 方程式 mnーm-4n=0を満たす正の整数
m, n の組(m, n)をすべて求めよ。

mn-m-4n=0
を変形すると,
(m-4)(n-1)=4.
①
m, n は m>0,n>0 を満たす整数である
から,m-4,n-1 は,
m-4> -4, n-1>-1
を満たす整数であり,①より,
よって,求める m, n の組は,

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

みと

解説は、既に解いたことのある人向けなので、結構ハブ行かれています

――――――――――――――――――――――――――――――――
●条件に合う整数を探すとき
　初歩の因数分解のときのように、積を考えるとできる場合がある

●まず

　mn－m－4n＝0　を積の形(　)(　)になるように考える

　(m－4)(n－1)とすると、mn－m－4n　が、(＋4)を除きＯＫとわかる」

●それで

　mn－m－4n＝0　の両辺に(＋4)を加え

　mn－m－4n＋4＝＋4　とし、左辺を積の形にする(因数分解)

　(m－4)(n－1)＝4　

●この形で、積が4、である整数を(約数)を正負の整数で考える

　(－4)×(－1)、(－2)×(－2)，(－1)×(－4)

　(＋4)×(＋1)、(＋2)×(＋2)，(＋1)×(＋4)

　　以上の６通りある(★掛け算の前・後もm，nの違いできちんと考えます)

●１つ１つチェックします

①(－4)×(－1)、つまり、(m－4)＝－4、(n－1)＝－1　のとき、m＝0，n＝0

②(－2)×(－2)、つまり、(m－4)＝－2、(n－1)＝－2　のとき、m＝2，n＝－1

③(－1)×(－4)、つまり、(m－4)＝－1、(n－1)＝－4　のとき、m＝3，－3

④(＋4)×(＋1)、つまり、(m－4)＝＋4、(n－1)＝＋1　のとき、m＝8，n＝2

⑤(＋2)×(＋2)、つまり、(m－4)＝＋2、(n－1)＝＋2　のとき、m＝6，n＝3

⑥(＋1)×(＋4)、つまり、(m－4)＝＋1、(n－1)＝＋4　のとき、m＝5，n＝5

●m，nが求められたので、条件をチェックします

　m，nが正の整数なので、④，⑤，⑥　があてはまり

　(m，n)＝(8，2)，(6，3)，(5，5)

―――――――――――――――――――――――――――――――――――――
と言うようなことがかいてあります。

Ha_tig

ありがとうございます！
最初はなぜ(m−4)（n -1）と出せるのでしょうか？
無理矢理因数分解したからということなのでしょうか？

みと

mn－m－4n＝0　を積の形(　)(　)になるように考える

★以下のよな流れで考えます

①　mn　　があるので、(m　 )(n　 )　となるはず

②　－m　 があるので、(m　 )(n－1)　となるはず

③　－4n　があるので、(m－4)(n－1)　となるはず

④　(m－4)(n－1)を展開して、mn－m－4n　なので、(＋4)を除きＯＫと確認

Ha_tig

理解出来ました！！
ありがとうございます！

Answer 2

ますっぺ

mn-m-4n=0 を因数分解すると、
（m-4）（n-1）=4になります。

m.nは正の整数なので、m>0 n>0なので、

m-4>-4
（↑左辺の-4を移項すると、+4になるので、m>0 になる）

同様に
n-1>-1

（m-4.n-1）というのは、（m-4）（n-1）=4を満たす組み合わせになる。

なので、

（m-4.n-1）=（1.4）（2.2）（4.1）　になる。
（↑何か×何か=4 になる正の整数の組み合わせを探す）

（m.n）=（5.5）（6.3）（8.2）

（↑ m-4=1なので　m=5 他も同様）

Ha_tig

なるほど、！
ありがとうございます😭

Answer 3

ブドウくん

まず、整数問題では「積の形を作成する」というのはとても有力な方針です。例えば、かけて4になる整数は(1,4)(2,2)(4,1)(-1,-4)(-2,-2)(-4,-1)に限られるので、数が絞れるからです。
ところで、整式を積の形にすることを因数分解というというのは習いましたよね。つまり、この問題では因数分解に近いことをしているんです。
mn-m-4nのままだと因数分解できないので、無理矢理mn-m-4n+4としてやることで(m-4)(n-1)積の形を作りにいっているのです。
つまり
mn-m-4n=0
の両辺に4を足して
mn-m-4n+4=4
とした上で因数分解して
(m-4)(n-1)=4
としています。

mとnは整数なので、m-4とn-1も整数ですね。
かけて4になる整数(m-4,n-1)の組は
(1,4)(2,2)(4,1)(-1,-4)(-2,-2)(-4,-1)
です。
しかし、さらにm>0なのでm-4>-4で、n>0なのでn-1>-1でもあるため、(m-4,n-1)=(-1,-4)(-2,-2)(-4,-1)は不適です。
したがって、
(m-4,n-1)=(1,4)(2,2)(4,1)
(m,n)=(5,5)(6,3)(8,2)
が答えです。

Ha_tig

丁寧にありがとうございます！😭
参考にさせていただきます🙇‍♀️