Question

no name

(ク)が分かりません。分かりやすく教えてください。お願いします

°56.〈浮力と単振動
密度o,底面積S, 高さの柱状の浮き
がある。とれを,図1のように直立させた
状態で水に静かに浮かべたところ, 水面下
L| 0
の長さがds号)の所で静止した。水の
d
密度を(00, 重力加速度の大きざをgとする。
浮きは直立した状態のままで鉛直方向に運
動し,空気の質量, 浮きの運動に伴う水や
空気の抵抗,水面の変化および水の運動に
よる影響は無視するものとして, 次の文中の 口 [エ
以降ではdを用いずに答えよ。
Po
図1
図2
図3
に当てはまる式を記せ。ただし,

7単振動·単振り子
41
図1のように,浮きが静止しているときに,浮きにはたらく重力の大きさはア,
が水から受ける浮力の大きさはイ]であり, これら2つがつりあっていることから,水田
下の長さdは口ウである。
はじめ静止していた位置(つりあいの位置)から,手で浮きを xo (0<xo<d)だけ押し沈め
て止めた。このときの手の押す力の大きさは口エである。 その後,浮きを静かにはなし
たところ,浮きはその底面が水面から飛び出すことなく,上下に単振動を始めた。この振動
の周期は オ」,振動中につりあいの位置に来たときの速さは カ], 浮きが最も高くな
る底面の位置は,水面からキ]の深さの所である。
次に,図2のように,浮きの上面を水面と同じになるまで押し沈めて静かにはなすと, 浮
きは水から完全に飛び出した。このように, 浮きの底面が水から完全に出るためには, 浮き
の密度がある量より小さい必要があり,その量はク」である。 今回用いた浮きの密度は
(ク)より小さかったので, 水から飛び出したあと, 水面からある高さまで上昇し (図3), その
後,水面に着水した。浮きの底面が水面から出る瞬間の浮きの速さはケ], 浮きの底面が
達した最大の高さは, 水面から コである。また, 浮きの底面が水面から出て,底面が再
び着水するまでの時間はサ]である。
浮き
[20 福岡大)

56 (浮力と単振動)
ヒント
ウ「浮きが静止」 → 浮きにはたらく力がつりあっている(重力=浮力)
最高点
p=0
の振動中心における速さは最大で,「vョ大= Aw」と表される。
の浮きは,重力と浮力から仕事をされている点に注目する。
才条件は L-d>d である。よってdに(ウ)の結果を代入して
よって p<
飛び出す
40
厚力
浮力ASLO
(ア) 浮きの質量mは,「質量=密度×体積」より m=pSL
よって,浮きにはたらく重力の大きさ mg は mg=pSLg
(イ)浮きの水中の体積 V水中は V本中= Sd である。浮力の式「F浮カ= PxV。
より,浮きにはたらく浮力の大きさ Fa力は Fゅカ=PoSdg
(ウ)浮きの重力mg と浮力 F#力がつりあうので(図a), (ア), (イ)より
L>2d=2-L
浮きの上面が水面と同じになったときの浮きの底面がある位置を原点O
とし、鉛直上向きにx'軸をとる。 浮きは浮力に上向きの仕事をされて上 L+h
ロ やがて水面から飛び出して最高点に達する。その間,重力からは常
に下向きの仕事をされる(図f)。 浮力は浮きの底面の位置x'によって図
gのように変化するので,浮きが水から出る瞬間までに浮力がした仕事を
Wanとすると、Wanは図gのグラフの面積で表されるので
断面積S
『重力
」で,
L
m
体内の
重力
P。
u
っであ
P。
重力mg=PSL9
0
T Do-0
Was=ASLg×L-ASL'g
一方,浮きは水から出る瞬間までx'軸の正の向きにL移動するので, 重力
がした仕事をWェ力とすると
Waカ=ーmg×L=-PSL9×L=-pSL'g
浮きについて、運動エネルギーと仕事の関係 「はじめの運動エネルギー+
物体のされた仕事=おわりの運動エネルギー」より,はじめの浮きの速さ
が0,水から出る瞬間の速さをvとすると
よって d=2L
っ大き
三気の
さ
ーむ
ASLG=pSdg ①
Po
浮きが水面から飛び出すまでは、
浮力が浮きに正の仕事をする
図a
(エ) このとき,浮きの水中の体積(V*中)は V*中=S(d+xo)である。手が掘。
力の大きさをFrとすると,浮きにはたらく力(重力 mg, 浮力 F'a力。,手が担は
カ)が力のつりあいの状態にあるので(図b) mg+F==Fカ(=PoV
よって F=F薄カーmg=pS(d+xo)g-PSL9
の式を用いて整理すると F= poSxog
け)水面を原点として鉛直下向きにx軸をとる(図c)。浮きがつりあいの位響
よりxだけ移動したとき(振動のスタート地点)の加速度をaとすると
の運動方程式は ma=mg-F浮力 となるので
pSLa=pSLg- poS(d+x)g
力 mg=
手が押す力。
重力は常に浮きに
負の仕事をしている
F。
図
空身
m
浮力
う,
浮力が浮きに
した仕事
0+(Waカ+ Wan)=-mu'=-oSL
aSLo+(-ASL'0)=SLe"
大
図b
重力 mg=6Su
PoSLg
0
L
0-
図g
= D-20gL
P
Po
よって ひ=
(p
gL
の式を用いて整理すると pSLa=-poSgx
よって a=- Dog。
別解 図eをもとに考える。浮きの上面が水面と同じである点(x=L--d)と
浮きが水から飛び出す点(x=-d)における単振動のエネルギー保存則より
と表されるので, 上式と比較
単振動の角振動数をωとするとa=-w'x
重力 mg=Sl
して =D
oL
Pog
よって 0=VL
図c
0+
-d)=
2元
|oL
したがって,周期Tは T===2π、/
Pog
m=DSL, K=pSg なので Jasg(L-d)"==ASL"+5aSoc"
や※A 別解浮きの上面が水
面と同じ状態から,浮きが水
から飛び出して最高点に達す
るまでの間,浮きは浮力から
-ASL'9, 重力
の
dにウ)の結果を用いると
(カ))この浮きの単振動の振幅Aは, つりあいの位置(振動中心)からx移動させ
た地点からスタートしたので, A=xo である。浮きがつりあいの位置(振動
中心)に来たときの速さ ひっりあいは, 最大の速さび最大 である。「U最大=Aw」お
デー(L-24)--2りー(-2)0
Po
よって ひ=
-2
仕事 Waカ=
Ot0
よび2式よりひつりあい=び最大三Aの=xo/
(コ) 水から飛び出して以降の浮きの運動は, (ヶ)で求めた速さによる鉛直投げ上
げ運動である。最高点の水面からの高さをhとすると, 等加速度運動の式
「パー=2ax」より 0-パ=ー2gh
h=ニー(-2)L=(-1)
つりあい
から仕事
W'カ=ーmg×(L+h)
=ーPSL'g-pSLhg
を受ける。運動エネルギーと
仕事の関係式を立てると,は
じめと最高点ではともに速さ
(最も。
スタート
(最も低い)
別解 x ずれた点と振動中心(つりあいの位置)における,単振動のエネルギ
一保存則「ーmu+ーKx'=一定」より (運動方程式より K=psSg)
0
※A-
2)gL=|
2g 2g\e
-mVつりあい
2
(サ) 浮きの底面が水面から出てから再び着水するまでの時間をtとすると,運
が0なので
動の対称性より,-後に浮きは最高点(速度0)にある。等加速度運動の式
0+(Waカ+ W'か)=0
「K
よって ひつりあい= Xo/
DoSg
Pog
ASL'g+(-aSL'g
-pSLhg)=0
-= Xoy oSL
= XoV pL
図d
「m
(すべて
「リ=o+at」より 0=o+(-g)。
(キ)単振動はつりあいの位置を中心として, 振幅Aで振動する。よって, 図d
より,浮きが最も高くなるとき, 浮きはつりあいの位置(振動中心)より上
方に A=x» 動いている。このときの浮きの底面の位置は, 図dより
つりあい
スタート
(すべて沈む
よって =-(-p-4(-
2v_2
gV
よって h=(-1)L
Po
2p
=2,
よって t=
g
g
d-xo=PL-x。 (dに(ウ)の結果を用いた。)
0
Po
(ク)浮きの上面を水面と同じになるまで沈めたとき, 浮きはつりあいの位置
(振動中心)より(L-d)だけ下方に動いている。一方, 浮きの底面が水面
と同じになるとき,浮きはつりあいの位置(振動中心)よりdだけ上方に動
いている(図e)。振動中心と振幅の関係より, 浮きが水から完全に飛び出
=0
L-d
図e
物理重要問題集
6