Question

ぷりん🍮

371と372の違いが分かりません！
どうして真数条件をやっているものとやっていないものがあるのですか？
どちらの問題も同じように見えるのですが…

■次の方程式を解け。 [371, 372]
371 (1) log.o(x+2)(x+5)=D1
るとき、 ひ
(2) log(9+x-x°)=-1
372 (1) log2.x+log2(x+3)=D2
*(3) 10og2 (3-x)=log4(2.x+18)
*(2) 1og4(2x+3)+1og4(4x+1)=21og.5
Dgot
2ot

371 (1) 対数の定義から
(x+2)(x+5)=10!
整理して
x°+7x=0
すなわち
(x+7)=0
これを解いて
x=0, -7 10
(2) 対数の定義から
1
9+x-x?
3,
三
整理して
x-x-6=0
すなわち
(x+2)(x-3)=D0
これを解いて
x=-2, 3
372 (1) 真数は正であるから
x>0 かつ x+3>0
よって
x>0
…の
方程式を変形すると
log2x(x+3)=2
ゆえに
(x+3)=22
整理して
x?+3x-4=0
すなわち
(x-1(x+4)=0
のから,解は
(2) 真数は正であるから
x=1
2x+3>0 かつ 4x+1>0
1
x>
4
よって
の
方程式を変形すると
log』(2.x+3(4x+1)=log,5°
すなわち
log』(2x+3(4x+1)=Dlog425
(2x+3(4x+1)=25
ゆえに
4x2+7x-11=0
(x-1(4x+11)=0
整理して
すなわち
のから,解は
x=1

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

ブドウくん

これは対数でとても大切なことなので、これを疑問に思い質問していること自体とても良いことだと思います。
まず、372から話します。
例えば(1)ですが、この問題で解くべき方程式は
log₂(x+3)+log₂x=2 ...①
であり、①の真数条件としてx+3>0とx>0を考えています。あわせると x>0...(i) ですね。これを対数の計算法則にのっとって計算すると
log₂x(x+3)=2 ...②
となります。
②の状態で真数条件を考えたらx(x+3)>0となり、x>0,x<-3...(ii) となりますね。
すると、①②の真数条件(i)(ii)では条件が変わったことがわかりますか？
ここにポイントがあって、①②の変形では同値な変形ではなくなっているんです。実際、①←②はx=-4のとき等、成り立たないです。よって、真数条件を無視した場合、答えとしてx=-4というのも入り得ることになります。よって、最初にきちんと真数条件を加味しておくことによって(ii)が
x(x-2)>0【かつ真数条件からx>0】
という条件になるため、(i)(ii)が同値になります。

しかし、371においては、同値性が崩れるような変形は行っていません。[(1)の3つの行間の必要十分条件がそれぞれ成り立つことを確認してください]
ゆえにわざわざ真数条件を書く必要はないです。

ぷりん🍮

そういうことだったのですね！
たくさん細かく回答していただきありがとうございます！
疑問を持ったところが良いと言ってもらえてすごく嬉しいです😆
本当にありがとうございます！

Answer 2

Ge

371は真数条件を考えても不適となる答えがない(そういうふうに作問者が作った)から議論する必要がなかった。でも必要がないかどうかは最後までわからないんだからとりあえず真数条件は考えておきなさい。

ぷりん🍮

上の回答者さんの回答とGeさんの回答をどちらもよく見て理解できました！
ありがとうございます！