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基礎トレ 88
難易度4
目標時間20分
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nを4以上の自然数とする。 数 2, 12, 1331 がすべてn進法で表記されているとして, 2=1331
が成り立っている。このときはいくつか。 十進法で答えよ。
( 京都大学)
n進法で2, 12, 1331 と表記される数は, 10
進法ではそれぞれ, 2, n+2, n°+3n² +3n+1
になるので 基礎トレ 41 ①
2n+2=n+3n2+3n+1
次に, 2(k+1) ≧ (k+2)3 ...... ②を証明する。
(左辺) (右辺)
= (n+1)3
=2(k+1)-(k+23
=2(k3+3k2+3k+1)- (k^3+6k2+12k+8)
=2k°+6k2+6k+2-k-6k-12k-8
n=4 のとき
左辺 = 64, 右辺 =125
n=5のとき
左辺 = 128, 右辺 =216
n=6 のとき
左辺 =256, 右辺 =343
n=7 のとき
左辺 = 512, 右辺 =512
n=8 のとき 左辺 = 1024, 右辺 =729
より,答えの1つが n =7であることがわかる。
また,n≧8 のとき, 2+2 (n+1)と推定でき,
これを数学的帰納法で証明する。
(i) n=8 のとき成り立つのは明らかである。
(ii) n=k のとき成り立つと仮定すると
2k+2> (k+1)3
両辺を2倍すると2k+3>2(k+1)3
数学的帰納法 (不等式の場合)
=k-6k-6
ここで,f(k)=k-6k-6 とすると,
f'(k) =3k2-6
k≧8のとき、f'(k)>0より,f(k)は単調増加
である。
さらに,f(8)=458より
k≧8 のとき f(k) > 0
よって、②が成り立つことがわかる。
①,②より2k+3>(k+2)3
n=k+1のときも成り立つ。
(i), (ii)より, 命題は成り立つ。
よって、答えは n = 7 のみとなる。 答
すべての自然数nで不等式が成り立つことを証明するには
(i) 最初の数のとき, 不等式が成り立つことを示す。
自然数は1から始まるので, 通常は n=1のときを示すが, 今回は "n≧8の自然数” なので,
n=8 のときを示す。
(ii) n=k のとき, 不等式が成り立つと仮定すると, n=k+1のときも成り立つことを示す。
今回は,n=kのとき,2k+2> (k+1)3であり,これが成り立てば, n=k+1 のとき, すなわち,
2k+3> (k+2)が自動的に成り立つことを示す。
まず, 2k+2> (k+1)3 の左辺を2k+3 にしたいので,両辺を2倍すると①の式が得られる。
「2k+3が2(k+1)より大きい」がわかっていて 「2+3 が (k+2) より大きい」を示したいので,
「2(k+1)が (k+2) 以上である」 を示せばよい。
