(1)
交点は連立方程式の解なので、異なる二つの実数解をもつことが条件になる。この条件がaによらず常に満たされるようなkの範囲を求める。
C: y = x² - 5x + 6
l: y = kax - a² - 5a
代入して
x²-5x+6=kax-a²-5a
x²-(5+ka)x+a²+5a+6=0 ⋯①
この二次方程式が異なる二つの実数解をもてばいいから
D₁=(k²-4)a²+10(k-2)a+1>0
この条件を常に満たす、すなわちD₁がaによらず常に正であるためには、D₁が正の一定値をとる、k=2、または、D₁=f(a)のグラフが下に凸であり、かつ横軸との交点をもたない(頂点が正)、すなわち判別式が負であればよい。
k²-4>0 ∴k<-2, 2<k
D₂/4 = 5²∙(k-2)² - (k²-4)∙1
= 24k² - 100k + 104
= 4(6k² - 25k + 26)
= 4(6k - 13)(k - 2) < 0
2 < k < 13/6
よって
2 ≦ k ＜ 13/6.
(2)
放物線と直線で囲まれる面積は、1/6公式で求められる。結果はaの関数になるので、それが一定値をとるにはaの係数が0であればよい。
①式の解をm,n(m<n)とおくと
S=∫ₘⁿ {-(x - m)(x - n)}dx
=⅙(n-m)³
ここで解の公式よりn-m=2√[(k²-4)a²+10(k-2)a+1]だから
S=一定となるkの条件は
k²-4=0かつk-2=0
したがってk=2.
こんな感じでしょうか…。
ありがとうございます！