(1)の直線方程式を求める問題が解けませんでした。

数学

大学生・専門学校生・社会人

解決済み

3年以上前

なず

(1)の直線方程式を求める問題が解けませんでした。

模範解答は交点をおいて解いてるんですが、交点じゃなくて方向ベクトルを置くやり方だと解けないんですか？

よろしくお願いします。

原点を通り. 直線。 : ーーサトーそ二て交する直線を。とする. このとき, 次の問いに答えよ. (1) 直線。の方程式を求めよ. (2) 2 直線 4 , 6 を含む平面の方程式を求めよ.

(1) 方向ベクトルが。, の方向ベクトルと垂直ということだけでは決まらない. 交点をもつことを使う. との交点を A(z, み, <) とする. A は名上の点だからーー3ームターニー1二32 ヶニーー5十+と表すことができる. 5 OA = (3一ヵ -1十34。一5二りがムの方向ベクタトル?ニー (1, 3, 1) と直交するから 7 = OA ・?=ー(3ーの十3(-1二39二1(5+り=0 O 202 解答これよりrー 1 となるから OA =(2, 2, -4) = 2(1, 1, 2) ムは原点を通り. 方向ベクトル (1 1, 一2) の直線だから zニッー訪 (2) 平面の法線ベクトルと平面上の直線の方向ベバクトルは垂直であることを用いる. ム, 6 の方向ベクタトルとして ?, = (1, 3, 1), の。三 (1, 1, 一2) をとる. 求める平面の法線ベクトルをヵー (og,。ち c) とすると, はひ, os と垂直になるからーcg十36十c三0 これを解いてaニ75 cニ45 cg十6一2c=0 5 三 1 とするとヵニ(7, 1, 4) が法線ベクトルになる. 原点を通ぁから 7z二ッ十4z王0 が原点を通る。〈注》法線ベクトルは, 外積を用いて史ー」X の。として求めることもできる. ム,ら上の適当な 3 点をとって, その 3 点を通る平面を求めてもよい.

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ベクトル直交直線方程式

回答

✨ ベストアンサー ✨

Crystal Clear

3年以上前

初めの3*3の行列にしたときの１行目に誤りがあります.
3t t 1
が正しいです. これで掃き出し法を行うと
tb=2
tc=-4
s=1
が得られます.
b=2/t, c=-4/t
を
-a+3b+c=0　④
に代入すると
a=2/t
よって(a b c)=(2/t)(1 1 -2)と方向ベクトルが求まります.
方向ベクトルは長さが任意なので一意に定まらず定数倍の自由度が出てくるのは当然です.
式も５未知数で４式だったのでそうなります.

④からa=3b+cを代入した今回の方針は、式を複雑にしただけでいい方針とは言えません.
(a b c)の定数倍を求めればいいのだから、(ta tb tc)を求めればいいと考えれば、未知数が4つで式が4つです.
④を-ta+3tb+tc=0として①②③を代入してta,tb,tcを消去すればs=1が求まり、それを①②③に戻せば
(ta tb tc)=2(1 1 2)と方向ベクトルが求まります.

哲治 3年以上前

いつも美しい解法で勉強させていただいてます。
ありがとうございます。
やはり最後は複雑な値を代入すれば元に戻るというか方向ベクトルは求まりはするのですね。

Crystal Clear 3年以上前

直交する⇔共有点を持つかつ垂直
が式で表現できているので原理的に解けることになりますね.

哲治 3年以上前

なるほどですね。ありがとうございました。

なず 3年以上前

回答ありがとうございます！

解けるんですね！でもやはり変な解法だっただけに結構複雑です。連立方程式を解く練習にはなったかなって感じですね。

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回答

哲治

3年以上前

おはようございます。
解けません。
方向ベクトル自体は掃き出し法など使わなくても内積ゼロにすればいいだけだから(1,1,-2)はすぐ一瞬で求まります。
２次元ではなくて３次元空間の直線同士なんで方向ベクトルが直交してもねじれの位置のような形で直線同士は交わらない可能性あります。
だから必ず交点を置いて原点通る条件も使って直線を特定しなければなりません。