Question

ペンローズ

1枚目の2行目から4行目の式変形でλの符号が変わるのはどうしてなんですか？？
あと、2枚目の1番上「つまり〜」のところでなぜその不等式が成り立つのかわかりません
どなたか教えてください🙇‍♂️🙇‍♂️🙇‍♂️

の値という意味です。ここで7- と 7」 は次のように定めます。

7_(み,o) = 人 ニー1 またはgo, > 01
7, (9,c) = {訴 ニ 1 または o, > 0}

、)の選択の根拠について以下に説明します。式05-16にラグランジュ未定乗数
法を適用してみます。 目的関数を7/(o) とすると、新しい変数Xとんを使って、ラグ
ランジュ関数は次のようになります。

し2
5 の gg久一7 og
本

このときのKKT条件は次のようになります。
5の 三0, 0
ラグランジュ関数の>についての勾配を取って= 0とおく と、次のようになります。
V7(@)二和ッール=テ0
さらに成分に注目すると次のようになります。

V7(o), + Aw = 太く0

ここで、KKT条件を見るとa。>0のときは太=0である必要があり、太を自由に動

かせるのはo,=0のときに限定されます。
まずはoz 0のときについて考えると、ヵ,=1または=-1であることに注意して、
この式の両辺に, を掛けて整理すると次を得ます。

%V7()。 >ーハ (娘=ー1)
みV7(@), 本(りー

炊にg,>0だとすると

wV7(o), = ー

7
放っ 最適解においては「=-1、またはcu>0」ならばyrVチ(o), > -ハであり、「 gw

( またはax>0」 ならばyiV7(o), 上RG                  en

=1                                                             っ
S           ツあ    さ
まり次を満たす必要か

min   WV7(o)                         あります。

#で7- (wa)             =

4ご max
te7+ (ya) %V7(o),

この条件がもし満たされていない場合に

、 満たすように。の人
のが 7の決定方法のアイデアァです。            4の値

ここで          を変更しょうとぃぅ

れ
MO UI 2 oe,

7=1

となります。
aeが定まると式05-14によ り、 ⑰) (7 = 1,……,の) を求めることができます。 2

っついぃては、式05-15により 。,元0 となるようなg,については次が成り立つことを使
います。

妊 (wo 2 3) =1

このようなょを1つ見つけて o を見つけることも考えられますが、もっと数値計算
的に安定するのは、 go, 元 0 となる go:すべてについての和を取ることです。

5=flaデ0)

とすると、次の式によ り yo を計算します。

1                         EE                    式05-21
%0 三      ゅ 志 > ik a)
|  | たとど       7e5

2      いました。
ここで|5| は集合 9の要素の個数です。ま ni =

AN

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Crystal Clear

λの符号は誤植でしょう. λが初めて出てくる式の-λをλに直しておいてください. ラグランジュの未定乗数法のλは-λで置いたり+λで置いたりどっちでもいいのですが、後ろの流れ的に+λのはずです.

後半について.
∀x∊I [f(x)≥a]⇔min[x∊I]f(x)≥a
∀x∊I [f(x)≤a]⇔max[x∊I]f(x)≤a
これを使う

今回考えている条件は全ての成分tについて成り立つ必要があることに注意すると以下のように言い換えられる

t∊I-なる全てのtに対してyt∇f(a)t≥-λ
⇔min[t∊I-]yt∇f(a)t≥-λ

t∊I+なる全てのtに対してyt∇f(a)t≤-λ
⇔max[t∊I+]yt∇f(a)t≤-λ

合わせて
min[t∊I-]yt∇f(a)t≥-λ≥max[t∊I+]yt∇f(a)t

これを満たすような-λが存在する条件は
min[t∊I-]yt∇f(a)t≥max[t∊I+]yt∇f(a)t

ペンローズ

毎回ありがとうございます😅